Свойства двумерной функции распределения

2F0). для любых .

(Свойство очевидно, так как функция распределения - вероятность).

2F1). Функция распределения является функцией неубывающей по каждому из своих аргументов.

▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 2F1) полностью аналогично доказательству свойства F1) в одномерном случае ■.

2F2). ;

, .

где и - одномерные функции распределения случайных величин и соответственно.

▲ В соответствии со свойствами вероятности

;

;

;

;

;

В силу аксиомы нормированности Р2)

Строгое доказательство свойства 2F2), как и в одномерном случае, основано на использовании аксиомы непрерывности Р4) ■.

Замечание. Смысл равенств , состоит в том, что по функции распределения двумерного случайного вектора всегда можно найти одномерные (маргинальные) функции распределения его координат и . Обратное без дополнительной информации неверно.

2F3). Функция распределения является функцией непрерывной слева по каждому из своих аргументов.

▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 2F3) полностью аналогично доказательству свойства F3) в одномерном случае ■.

2F4). Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:

▲ Обозначим

;

;

;

.

Очевидно, что . При этом события и являются несовместными, а . Поэтому по теореме сложения вероятностей получаем:

.

Осталось учесть, что , ,

, ■.

Замечание. Как отмечалось ранее, свойства F1), F2) и F3) полностью описывают класс одномерных функций распределения. В двумерном случае это уже не так. Наряду с выполнением свойств 2F1), 2F2) и 2F3) для этого необходимо еще выполнение свойства 2F4) (подробности см. в учебнике Боровкова А.А. «Теория вероятностей»).

Замечание. Аналогично одномерному случаю вводится понятие борелевской -алгебры на плоскости как минимальной -алгебры, содержащей все прямоугольники вида со сторонами параллельными осям координат. Тогда свойство 2F4) совместно с теоремой о продолжении меры позволяет считать, что двумерная функция распределения полностью определяет вероятность попадания случайного вектора в любое борелевское множество (хотя явного аналитического для через функцию распределения при этом может и не быть).

Аналогичными являются определение и свойства многомерной функции распределения.

Определение. Функция действительных переменных, определяемая для любого равенством

,

называется функцией распределения случайного вектора или многомерной ( -мерной) функцией распределения или совместной функцией распределения случайных величин .