2015-06-28
1385
Значение корреляционного момента 
зависит от единиц измерения случайных величин 
и 
. Безразмерным аналогом является коэффициент корреляции, определяемый формулой:
,
где 
- средние квадратические отклонения случайных величин и .
Свойства коэффициента корреляции.
1. 
, если случайные величины и являются независимыми.
(Свойство очевидно, так как в этом случае 
).
2. Коэффициент корреляции по модулю не превосходит 1: 
.
▲ В соответствии со свойством 1 дисперсии
.
Положим 
. Тогда
,
откуда
.
Следовательно,
, и поэтому .■.
3. 
тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью, то есть существуют действительные числа А и В такие, что 
.
▲ Необходимость. Предположим, что . Тогда 
и из доказательства свойства 2 следует, что 
при 
. В соответствии со свойством 1 дисперсии это означает, что 
, откуда 
и значит 
.
Достаточность. Пусть . Тогда 
, а корреляционный момент случайных величин и равен
.
Поэтому 
■.
Итак, для независимых случайных величин и достигает максимального по модулю значения для сильно (линейно) зависимых случайных величин. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между случайными величинами.
|
|
|
Геометрическая иллюстрация: чем больше по модулю 
, тем плотнее значения случайного вектора 
располагаются вдоль некоторой прямой.
Многомерный случай.
Основными числовыми характеристики 
-мерного случайного вектора 
являются:
· математическое ожидание 
;
· корреляционная матрица 
, элементами которой являются всевозможные попарные корреляционные моменты координат: 
.
Свойства корреляционной матрицы.
1. Матрица 
является симметрической размера 
: 
, 
.
2. На диагонали матрицы расположены дисперсии координат случайного вектора : 
, 
.
3. Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любого 
и для любых действительных чисел 
.
▲ Обозначим 
- центрированную случайную величины, 
. Тогда 
и для произвольных чисел имеем:
■.
Наряду с корреляционной матрицей , иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу 
, элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат: 
. Отличие ее от просто корреляционной матрицы состоит в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1: 
.
