Коэффициент корреляции его свойства

Значение корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин и . Безразмерным аналогом является коэффициент корреляции, определяемый формулой:

,

где - средние квадратические отклонения случайных величин и .

Свойства коэффициента корреляции.

1. , если случайные величины и являются независимыми.

(Свойство очевидно, так как в этом случае ).

2. Коэффициент корреляции по модулю не превосходит 1: .

▲ В соответствии со свойством 1 дисперсии

.

Положим . Тогда

,

откуда

.

Следовательно,

, и поэтому .■.

3. тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью, то есть существуют действительные числа А и В такие, что .

▲ Необходимость. Предположим, что . Тогда и из доказательства свойства 2 следует, что при . В соответствии со свойством 1 дисперсии это означает, что , откуда и значит .

Достаточность. Пусть . Тогда , а корреляционный момент случайных величин и равен

.

Поэтому ■.

Итак, для независимых случайных величин и достигает максимального по модулю значения для сильно (линейно) зависимых случайных величин. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между случайными величинами.

Геометрическая иллюстрация: чем больше по модулю , тем плотнее значения случайного вектора располагаются вдоль некоторой прямой.

Многомерный случай.

Основными числовыми характеристики -мерного случайного вектора являются:

· математическое ожидание ;

· корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные попарные корреляционные моменты координат: .

Свойства корреляционной матрицы.

1. Матрица является симметрической размера : , .

2. На диагонали матрицы расположены дисперсии координат случайного вектора : , .

3. Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любого и для любых действительных чисел

.

▲ Обозначим - центрированную случайную величины, . Тогда и для произвольных чисел имеем:

■.

Наряду с корреляционной матрицей , иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу , элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат: . Отличие ее от просто корреляционной матрицы состоит в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1: .