Многомерное нормальное (гауссовское) распределение

Нормальное распределение в одномерном случае задается плотностью вероятностей вида:

,

причем параметры (предполагается, что , иначе распределение является вырожденным).

Определение. Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет многомерное нормальное (гауссовское) распределение, если его плотность вероятностей имеет вид:

, (3.19)

где - математическое ожидание случайного вектора ; - корреляционная матрица случайного вектора ; - определитель корреляционной матрицы (предполагается, что ); – алгебраическое дополнение к элементу матрицы (так, что - элемент матрицы, обратной к ).

Несколько более компактно выглядит запись для многомерной нормальной плотности вероятностей в векторной форме:

,

где верхний индекс «Т» означает знак транспонирования.

Далее будет использоваться для нормального случайного вектора краткая запись: .

Из выражения (3.19) для плотности вероятностей видно, что нормальный закон распределения полностью определяется моментами первых двух порядков: математическими ожиданиями , дисперсиями и корреляционными моментами .

Если случайный вектор и его координаты являются попарно некоррелированными случайными величинами, то есть , то корреляционная матрица и обратная к ней являются диагональными

, .

Поэтому из (3.19) следует, что

,

где - плотности вероятностей одномерного нормального распределения с параметрами . Но это означает независимость случайных величин .

Таким образом, для нормально распределенных случайных величин понятия независимости и некоррелированности совпадают (эквивалентны).

Другие замечательные свойства многомерного нормального распределения.

Если , то:

1. Все координаты имеют одномерные нормальные распределения: (уметь доказывать при ).

2. Все условные законы распределения являются нормальными (уметь доказывать при ).

3. Если координаты являются независимыми случайными величинами, то любая их линейная комбинация также является нормальной случайной величиной: (уметь доказывать при с помощью интеграла свертки).

Рассмотрим подробнее случай . Пусть - непрерывный случайный вектор, у которого . В этом случае корреляционная матрица случайного вектора имеет вид: , а определитель корреляционной матрицы .

Поэтому плотность вероятностей двумерного нормального случайного вектора имеет вид:

.

Для двумерного нормального случайного вектора используется краткая запись: (зависит от пяти параметров).

График двумерной плотности вероятностей имеет вид:

Линиями уровня двумерной плотности вероятностей являются эллипсы:

Найдем одномерные плотности вероятностей и координат случайного вектора .

,

то есть .

Аналогично, , то есть .

Таким образом, у двумерного нормального случайного вектора одномерные законы распределения всегда являются нормальными.

Найдем условные законы распределения, если случайный вектор .

Из полученного вида условной плотности вероятностей следует, что она является плотностью вероятностей нормального закона распределения с параметрами

и .

Полностью аналогично получаем, что условная плотность вероятностей

является плотностью вероятностей нормального закона распределения с параметрами

и .

Таким образом, если - двумерный нормальный случайный вектор, то условные математические ожидания и являются линейными функциями условия (или, другими словами, в нормальном случае уравнения регрессии являются линейными), а условные дисперсии и являются постоянными величинами.