Рассмотрим некоторую ось u и выберем какой-нибудь отрезок в качестве единицы измерения длин. Если нам дан некоторый вектор , то поместим его начало в какую-нибудь точку О оси u, а конец вектора пометим буквой А. Пусть далее В – какая-нибудь точка оси u, расположенная в положительном направлении от точки О.
Угол называют углом наклона вектора к оси u. Этот угол понимаем в элементарно-геометрическом смысле, пределы изменения от 0 до π.
Проекцией вектора на ось u называют число
,
где φ – угол наклона к оси u.
Это число имеет наглядный геометрический смысл. Спроектируем начало и конец вектора на ось u, получим точки А 1, В 1. Рассмотрим вектор лежащий на оси u. Тогда
причем знак “+” соответствуем случаю, когда угол φ острый, а “–”, когда φ – тупой.
В
|
А 1 В 1 u
Элементарно-геометрическими методами можно получить свойства проекций вектора на ось:
.
Замечание 1. Если φ – это угол между векторами и (понимаемый как угол между двумя отрезками, исходящими из одной точки), то число называют проекцией вектора на направление вектора , или просто проекцией на и обозначают символом
Пусть теперь на плоскости (или в пространстве) задана ДПСК. Проекции вектора на оси координат обозначают аx, ay, az, или a 1, a 2, a 3, или X, Y, Z. Проекции вектора на оси координат, будучи заданы, вполне определяют его как свободный вектор, т.е. с точностью до положения в пространстве. Если вектор расположен в плоскости xOy, то достаточно двух проекций a 1 и a 2. Проекции вектора часто называют его координатами.
Тот факт, что вектор имеет проекции a 1, a 2, a 3, показывают записью
.
Итак, впредь для нас вектор, чаще всего, это упорядоченная тройка (или пара) чисел.
Если вектор задан началом A (x 1; y 1; z 1) и концом B (x 2; y 2; z 2), то его проекции определяются формулами
т.е.
Выразим линейные операции над векторами через их проекции. Пусть , . Тогда:
1. тогда и только тогда когда
2.
3.
4. условие коллинеарности: тогда и только тогда, когда
т.е. проекции пропорциональны;
5.
6. условие компланарности векторов , и :
Обозначим через углы, которые вектор составляет с осями абсцисс, ординат и аппликат соответственно. Направляющими косинусами вектора называют косинусы этих углов. Очевидно (из определения проекций):
.
Основное свойство направляющих косинусов:
.
Кроме того, направляющие косинусы вектора служат проекциями орта этого вектора:
.
Замечание 2. Вектор можно задавать: 1) длиной и направлением (т.е. углами ); 2) началом и концом; 3) проекциями. Необходимо уметь переходить от одного способа к другому.