Расчёт средней гармонической

Наряду со средней арифметической в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая она может быть простой и взвешенной.

Пример 5. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затрачивал на одну деталь 12 мин, второй – 15 мин, третий – 14, четвёртый – 16 и пятый – 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Таким образом, формула для расчёта средней гармонической простой будет иметь вид:

.

Среднюю гармоническую взвешенную вычисляют тогда, когда известны данные об общем объёме признака () и значение признака (), а частоты неизвестны ().

Рассмотрим расчёт средней гармонической взвешенной на примере.

Пример 6. Стоимость реализованной продукции по рынкам города характеризуется следующими данными:

Рынок	Стоимость реализованной продукции, тыс. руб. ()	Цена за единицу, руб ()

Определим среднюю цену единицы продукции по трём рынкам.

Для этого, представим экономическое содержание показателя и составим исходное соотношение средней (ИСС):

Согласно условию задачи, отсутствует информация о количестве реализованной продукции, следовательно, преобразуем формулу и произведём расчёт:

Таким образом, формулу для расчёта средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

.