Лабораторно-практическое занятие N4. Умножение матриц. Вычисление обратной матрицы. Решение уравнений и систем линейных уравнений

Продолжительность: 180 мин.

Дисциплина: Информатика

Предназначено: для студентов по направлениям: менеджмент, экономика, международная экономика, налоги и налогообложение, юриспруденция.

Цель: научиться использовать программу Excel для решения задач линейной алгебры (вычисление определителей матрицы, умножение матриц, вычисление обратной матрицы, решение систем линейных уравнений), а также находить корни нелинейных уравнений.

Результат обучения: пользовательсможет с помощью программы Excel находить корни уравнений и решать системы линейных уравнений, вычислять определители матрицы и использовать матричное исчисление для решения экономических задач.

План занятий:

I). Вычислить определители матриц А и В;

II). Найти матрицу, обратную к матрице А и выполнить проверку

III). В ычислить произведение матриц А и В;

IV). Решении практических задач матричным способом

V). Решение систем линейных уравнений

VI). Решение алгебраического уравнения

Для решения задач, связанных с необходимостью умножения матриц, вычисления обратных матриц, вычисления определителей матрицы, используемых для решения систем линейных алгебраических уравнений в программе Excel предусмотрены соответствующие функции, расположенные в Мастере функций. Любая матрица представляет собой массив данных, представляемый в виде таблицы размера m x n с числовыми данными. Познакомимся с предоставляемыми возможностями программы Excel на примере решения следующих задач:

I). Загрузите программу Exсel.Переименуйте лист 1 (новое название листа - Матрицы). Даны две матрицы A и В вычислить определители матриц

Для решения первой задачи в окне электронной таблицы введем элементы матриц А и В. В ячейке В1 введем заголовок - Матрица А, сами элементы матрицы расположим в ячейках А2:D5, каждое число - элемент матрицы вводится в отдельную ячейку. Соответственно в ячейке F1 введем заголовок - Матрица В, расположив ниже в ячейках F2:I5 элементы этой матрицы.

В ячейках А7 и F7 наберите заголовки: Определитель А= и Определитель В=.

Функция, используемая для вычисления определителя, имеет имя МОПРЕД, в качестве ее аргумента используется блок ячеек с элементами матрицы. В ячейку А8 введите формулу: МОПРЕД(А2:D5) и нажмите клавишу ввода Enter. В результате вы получите вычисленное значение определителя матрицы А. Аналогично в ячейке F8 вычисляется определитель матрицы В. Для ввода формулы можно использовать клавиатуру или Мастер функций.

Сохранить документ в папке Excel в файле lab-4.xls.

II.) Для вычисления матрицы А^-1, обратной к матрице А, используется функция МОБР, аргументом которой является массив данных исходной «матрицы А». Обратная матрица будет существовать, если определитель матрицы А # 0. В ячейку А10 введите заголовок: Обратная матрица. Поставьте курсор на ячейку А11 и выделите блок ячеек А11:D14. Войдите в Мастер функций и найдите функцию МОБР, в окне функции введите ее аргумент - А2:D5, завершите ввод, нажавклавиши Shift+Ctrl+Enter. В результате в ячейках А11:D14 вы получите элементы обратной матрицы.

Проверьте правильность вычисления обратной матрицы А^-1 умножением на нее исходной матрицы А, в результате должна получиться единичная матрица Е.

В ячейках A17:D20, где представлены результаты проверки, задайте числовой формат - два десятичных знака после запятой.

Сохранить документ под тем же именем lab-4.xls. При повторном сохранении под тем же именем достаточно нажать кнопку «Сохранить» .

III.) Для умножения матриц А и В используется функция МУМНОЖ, аргументами которой являются элементы этих матриц. При умножении двух матриц необходимо помнить, что число колонок 1-й матрицы должно равняться числу строк второй, т.е. если 1-я матрица имеет размер m x n, а 2-я матрица n x k, то в результате получится матрица размера m x k.

Введите в ячейку А22 заголовок - Результирующая матрица. Так как у нас матрицы А и В имеют размер 4х4, то в результате также будет матрица размера 4х4. Поставьте курсор в ячейку А23 и мышью выделите блок ячеек A23:D26. Вызовите Мастер функций и выберите функцию МУМНОЖ. В окне функции введите ее аргументы - блоки ячеек А2:D5 и F2:I5. В ячейке А23 вы увидите вводимую функцию. Для завершения ее ввода в блок ячеек нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter. В результате в ячейках вы получите элементы результирующей матрицы- произведения матриц А и В.

IV.) Решении практических задач матричным способом

Умножение матриц часто используется при решении практических задач, где данные представлены в табличной форме.

Решим одну из таких задач: Продовольственная база снабжает сеть из 11 магазинов. В течение квартала в магазины осуществляется завоз набора основных продуктов. График завоза продуктов приведен в таблице 4.1. Набор основных требуемых продуктов по магазинам приведен в таблице 4.2. Необходимо определить общее количество продуктов, требуемое ежемесячно и в течение квартала. Результат поместить в таблицу 3.

Откройте новый рабочий лист. Присвойте листу новое имя - Задача. Наберите и оформите на этом листе представленные таблицы 4.1 и 4.2.

Таблица 4.1. План завоза продуктов по магазинам.

	Номера магазинов
Месяцы	N10	N12	N15	N18	N19	N20	N22	N25	N30	N32	N34
Январь
Февраль
Март
Итого

В строке Итого необходимо просуммировать значения в соответствующих столбцах с помощью кнопки «Автосумма» . Для этого выделите ячейки от N10 до цифры 9 в последнем столбце и пустую строку итого затем нажмите . В результате в пустой строке появятся значения суммы.

Данные, представленные в этих таблицах, образуют две матрицы размера 4х11 и 11х6. Решение задачи получается умножением соответствующих элементов 1-й и 2 таблиц, т.е. обычным умножением матриц. Результирующая матрица, образующая Таблицу 4.3, будет иметь размер 4х6.

Таблица 4.2. Объем поступлений продуктов при каждом завозе по магазинам.

N магазина	Консервы рыб., шт.	Мясо, т.	Колбасн. изд, кг	Сахар, ц.	Крупы, ц.	Макарон. издел., ц.
N10
N12
N15
N18
N19
N20
N22
N25
N30
N32
N34

Подготовьте форму таблицы 4.3. Ее верхняя строка заголовков получается копированием верхней строки с заголовками Таблицы 4.2, а левые заголовки получаются копированием левой колонки с заголовками Таблицы 4.1.

Таблица 4.3. Требуемое количество продуктов на 1-й квартал.

Месяцы	Консервы рыб., шт.	Мясо, т.	Колбасн.изд, кг	Сахар, ц.	Крупы, ц.	Макарон. издел., ц.
Январь
Февраль
Март
Итого

Результаты внутри Таблицы 4.3 получаются как результат умножения данных Таблицы 4.1 (матрица А) на данные Таблицы 4.2 (матрица В) аналогично выполненному ранее умножению матриц.

V). Решить систему линейных уравнений

Задание: Для решения системы линейных уравнений откройте новый рабочий лист, присвойте ему имя Система уравнений.

Система линейных уравнений в матричной форме имеет вид: АХ=В, где А - матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных в уравнениях, Х - вектор из неизвестных, В - вектор, составленный из правых частей уравнений. Решение системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид: Х=А^-1•В, т.е. для нахождения решения системы Х необходимо:

а) найти матрицу, обратную к исходной матрице А;

б) умножить получившуюся обратную матрицу на вектор свободных членов уравнений В.

Подготовьте на листе необходимые заголовки для решения системы уравнений для этого введите текст в ячейки: А1 - Исходная матрица, F1- Правая часть системы уравнений, A7- Обратная матрица, F7- Решение, H7- Проверка.

Для редактирования текста выделите ячейки А1-D1 и нажмите кнопку на панели инструментов «Объединить и поместить в центре» , аналогично проделайте с ячейками A7:D7.

Рис. 4.1.

Введите в соответствующие ячейки ниже заголовков матрицу из коэффициентов при неизвестных в уравнениях и правые части системы уравнений как показано на рисунке 4.1.

С помощью функции МОБР вычислите обратную матрицу для этого выделите ячейки А9:D12 нажмите = откройте мастер функций , категории математические, функцию МОБР. В появившемся диалоговом окне в строке массив выделите мышью матрицу А, в результате появятся ячейки (A2:D5).

Решение системы линейных уравнений, т.е. Х=А^-1•В С помощью функции умножения матриц умножьте обратную матрицу на вектор свободных членов и результат поместите в соответствующей части рабочего листа (выделить F9:F12 нажать = и выполнить умножение матриц как показано на рис.4.2.)

Рис. 4.2.

Проверьте полученное решение системы линейных уравнений. Для этого надо умножить исходную матрицу на полученное решение. В результате должен получиться вектор свободных членов (см. Рис.4.3.).

Рис.4.3.

VI). Решение уравнений. Для решения алгебраических уравнений до 3 степени включительно существуют формульные выражения, позволяющие через коэффициенты при неизвестных в уравнении находит корни уравнения (например формула Виетта). Уравнения, начиная с 4-й степени и выше, а также трансцендентные уравнения обычно в радикалах не решаются. Для нахождения корней таких уравнений обычно используются приближенные методы решения, позволяющие по начальному приближению вычислять корни уравнения с задаваемой точностью. Наиболее часто используются метод касательных и метод хорд. Для применения этих методов необходимо выделить интервал, на котором корень уравнения будет единственным. На концах интервала функция должна принимать противоположные по знаку значения. На этом интервале функция должна быть непрерывной, монотонно возрастающей или убывающей (знак производной постоянен) и не иметь точек перегиба. Тогда решение уравнения может быть найдено приближенными методами. Эти методы реализованы в программе Excel в виде команды меню Сервис/Поиск решения. С помощью этой команды можно также находить точки экстремума и вычислять экстремальные значения функции (минимум/максимум).

Задание: Найти корни уравнения: 3x⁵ - 5x²+ 2x -7 = 0 и найти минимум функции на интервале (-2; 3).

Алгоритм выполнения задания:

1)Вставить новый лист (Вставка ®Лист) и переименовать (Формат ®Лист®Переименовать) в «Поиск решения».

2)в ячейке А1 введите заголовок Решение уравнения, в ячейке В1 введите заголовок Функция, в ячейке С1 - Точка экстремума, в ячейке D1 - заголовок Минимум функции;

3) в ячейках А2 и С2 наберите начальное приближение - 0;

4) в ячейке В2 с помощью Мастера функций введите функцию, находящуюся в левой части уравнения (в качестве х будет ячейка А2): =3*A2^5-5*A2^2+2*A2-7;

5) в ячейке D2 также наберите нашу функцию, только вместо А2 необходимо набрать С2;

6) вызовите команду меню Сервис/Поиск решения. В открывшемся окне команды необходимо установить целевую ячейку В2 равной значению 0. В опции команды Изменяя ячейки указать ячейку, в которой мы ищем решение (А2). Так как найти корни уравнения и минимум функции надо на интервале (-2; 3), то введем ограничение (нажмите опцию ): A2>=-2; еще раз А2<=3. После ввода всех необходимых для поиска решения данных нажмите кнопку . В результате в ячейке А2 вы получите решение уравнения см. рис. 4.4. Значение функции в ячейке В2 будет приблизительно (с заданной вами точностью) равно -5,83Е-07 в экспоненциальной форме записи, или является числом -0,000000583 в числовой форме записи.

Рис. 4.4.

Выполним форматирование ячейки В2, для этого курсор установим в В2 откроем пункт меню Формат®Ячейки откроется диалоговое окно см рис.4.5. Далее выполняются действия по порядку обозначенные на рисунке 1. «Число» ® 2. «Числовой»® 3. « Число десятичных знаков:» 9 ® 4. ОК.

Рис.4.5.

В результате проделанных операций в В2 значение -0,000000583 округлим это значение с помощью панели инструментов кнопки «Уменьшить разрядность» до сотых (0,00).

Примечание: Если в результате поиска решение не может быть найдено (об этом на экране будет выведено соответствующее сообщение), это означает, что заданный вами интервал поиска или начальное приближение подобраны неудачно и вам необходимо изменить интервал поиска, задаваемый ограничением;

7) для нахождения минимального значения функции необходимо вызвать команду Сервис/Поиск решения и в ее окне указать целевую ячейку D2 равной минимальному значению, изменяемая ячейка - С2, а ограничения поиска минимума (интервал (-2;3)), задается ограничениями C2>-2 и C2<3. В результате выполнения поиска решения в ячейке С2 вы получите точку экстремума, а в ячейке D2 - минимальное значение функции на интервале.

5. Сохранить полученные результаты с помощью кнопки «Сохранить» при этом книга Excel с ее страницами сохраняется под именем lab-4.xls присвоенном в начале лабораторной работы.