Тема 4. Основы теории комплексных чисел

 

Рассмотрим уравнение вида: х²-4=0. Оно имеет действительные корни 2 и -2. Уравнение х²-4=0 действительных корней не имеет. Возникает необходимость введения новых чисел.

 

Определение 4.1.. Комплексными числами называют выражения вида а + bi, где а и b- действительные числа, а i - мнимая единица, причем i²=-1.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Если , то число называется комплексным числом, заданным в алгебраической форме

(2.3)

Это число имеет действительную часть

и мнимую часть

Так что

- число, сопряженное .

 

Пример:

Найти действительную и мнимую части комплексных чисел а)z ₁=6-5i_, б)z₂= i.

 

Решение: а) 6 - действительная часть, -5 – мнимая часть;

б) 0 - действительная часть, 1 – мнимая часть.

Сумма комплексных чисел.

Определение 4.2. Суммой двух комплексных чисел а + bi и с + di будем называть комплексное число (а + c) + (b + d)i.

 

Определение 4.3. Произведением двух комплексных чисел а + bi и с + di будем называть комплексное число (ас - bd) + (ad + bc)i.

 

Пример:

Найти сумму и произведение комплексных чисел z ₁=2-5i_, z₂= -7+i.

z ₁ + z ₂=(2 – 7) + (-5 + 1)i;

z _*z ₂=(-14 +5) +(2 + 35)i=-9 + 37i.

 

Модуль комплексного числа.

Определение 4.4.. Модулем комплексного числа z =а + bi называется число и обозначается , т.е. = = .

 

Пример:

Найти модуль комплексных чисел: а) 2-5i, б) -7+i.

 

Решение а) ;

б) .