Дифференциальное уравнение механических колебаний

1 2 3 4 5

Содержание

Введение

1. Дифференциальное уравнение механических колебаний

2. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний

2.1 Запись гармонических колебаний в комплексной форме

2.2 Запись гармонических колебаний в векторной форме

3. Вынужденные колебания. Резонанс

3.1 Вынужденные колебания

3.2 Резонанс

Заключение

Решение задачи

Список литературы

Введение

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.

Дифференциальное уравнение механических колебаний

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 1).

Рис.1

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными.

В этом разделе и следующих мы рассмотрим одну задачу прикладной механики, исследовав и разрешив ее с помощью дифференциальных уравнений.

Пусть груз массы Q покоится на упругой рессоре (рис. 2).

Рис. 2

Отклонение груза от положения равновесия обозначим через y. Отклонение вниз будем считать положительным, вверх – отрицательным. В положение равновесия вес уравновешивается упругостью пружины. Предположим, что сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия, - так называемая восстанавливающая сила – пропорциональна отклонению, т. е. равна – ky, где k – некоторая постоянная для данной рессоры величина (так называемая «жесткость рессоры»).

Предположим, что движению груза Q препятствует сила сопротивления, направленная в сторону, противоположную направлению движения, и пропорциональная скорости движения груза относительно нижней точки рессоры, т. е. сила –λν = -λ , где λ = const≥ 0 (амортизатор). Напишем дифференциальное уравнение движения груза на рессоре. На основании второго закона Ньютона будем иметь:

(1)

(здесь k и λ – положительные числа). Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Это уравнение можно переписать так:

(1 )

где обозначено ρ = λ/Q,q = k/Q.

Предположим, далее, что нижняя точка рессоры совершает вертикальные движения по закону z = (t). Это, например, будет иметь место, если нижний конец рессоры прикреплен к катку, который вместе с рессорой и грузом движется по неровности (рис. 3).