Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью τ, то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом
dq = τ · dl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применить следующие формулы:
; ,
где – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность.
Используя принцип суперпозиции электрических полей, интегрированием находят напряженность и потенциал φ поля, создаваемого распределенным зарядом:
; .
Интегрирование ведется вдоль всей длины L заряженной линии.
Интегрирование приводитк следующей формуледля напряженности поля, создаваемого прямой бесконечной равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:
,
где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля;
τ – линейная плотность заряда, τ = q / l.
При расчетах электростатического поля системы зарядов используется теорема Остроградского–Гаусса.
|
|
Определение теоремы Остроградского–Гаусса для поля в вакууме: поток вектора напряженности Е электростатического поля через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов , которые охватываются этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную.
Математическая формула теоремы имеет следующий вид:
,
где – единичный вектор нормали к элементу поверхности dS.
Если поверхность не охватывает заряд, то поток через такую поверхность равен нулю.
Значение потока вектора Е через замкнутую поверхность не зависит ни от размеров, ни от формы поверхности. Поэтому при расчетах следует выбирать поверхность такой формы, которая позволяет наиболее просто вычислить поток.
Применение теоремы Остроградского–Гаусса к расчету поля приводит к следующим формулам для напряженностей и потенциалов:
напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:
– при r < R E = 0; ;
– при r = R ; ;
– при r > R ; ,
где q – заряд сферы.
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, определяется как
.
Связь потенциала с напряженностью:
– в общем случае или ;
– если поле однородное, то ;
– если поле обладает центральной или осевой симметрией, то .
Работа по перемещению заряда q в электростатическом поле.
При заданной напряженности поля Е работа по перемещению электрического заряда q определяется следующей формулой:
,
где E – напряженность поля;
dl – элемент траектории L.
Работапо перемещению тела с зарядом q из точки поля с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 вычисляется по формуле
|
|
.
Эта работа идет на изменение кинетической энергии тела . Поэтому справедливо следующее соотношение:
или ,
где m – масса тела;
υ 1 и υ 2 – начальная и конечная скорости тела.
Электроемкость – это физическая величина, численно равная заряду q, который необходимо сообщить проводнику (системе проводников), чтобы увеличить потенциал φ на 1 вольт.
Формулы электроемкостей:
– уединенного проводника
,
– двух проводников
,
где U – разность потенциалов проводников.