Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси фигуры, ограниченной непрерывной кривой , осью и прямыми (рис. 7). Разобьем отрезок на частей точками Проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные оси . Сечение тела вращения плоскостью есть круг радиусом с площадью . Проведенные плоскости разобьют тело на слои. Каждый -й слой

приближенно заменим прямым цилиндром (рис. 7) с радиусом , высотой и объемом

Сумма объемов всех цилиндров равна .

Объем тела вращения определяется как предел этой суммы

при стремлении к нулю величины . Мы получили предел интегральной суммы непрерывной функции по отрезку , который существует и равен интегралу

Итак, объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , осью и прямыми , вычисляется по формуле

или .

Аналогично вычисляется объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линией , осью , прямыми (рис. 8):

или .

Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,

а) вокруг оси , б) вокруг оси .

Решение. Построим параболу прямые и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линями (рис. 31).

а). Объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг оси , вычислим по формуле:

Подынтегральная функция − четная, поэтому используем следствие 2 к теореме.

б). Для вычисления объема тела вращения фигуры вокруг оси нельзя непосредственно воспользоваться формулой, так как фигура сверху ограничена не прямой, а параболой. Поэтому сначала рассмотрим фигуру, ограниченную прямой , осью , прямыми . При ее вращении вокруг оси получим цилиндр, объем которого можно вычислить по формуле или по формуле

Теперь рассмотрим фигуру, ограниченную линиями осью и прямой . При ее вращении вокруг оси получим тело, объем которого вычислим по формуле:

Тогда искомый объем будет равен

7. Лекционное занятие. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА

Случай 1. Пусть на плоскости дуга задана уравнением Будем предполагать, что функция непрерывна вместе со своей производной на .

Рассмотрим на кривой точки с абсциссами Проведем хорды длины которых обозначим (рис. 1).

Вычислим длину -й хорды

Для вычисления приращения воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа

,

где − некоторая точка из промежутка Тогда длина й хорды

.

Учтем это и возьмем в определении криволинейного интеграла в качестве промежуточных точек на дугах точки :

.

Мы получили предел интегральной суммы функции по отрезку , который равен интегралу Следовательно,

Итак, для вычисления криволинейного интеграла по дуге АВ с уравнением нужно:

1) заменить в подынтегральной функции на его значение на дуге;

2) заменить на ;

3) вычислить получившийся определенный интеграл по отрезку .

Иногда удобнее использовать уравнение кривой в виде . Тогда

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой

.

Решение. Уравнение кривой разрешено относительно , поэтому воспользуемся формулой (7.16), учитывая, что ,

Тогда

Случай 2. Пусть на плоскости дуга задана параметрическими уравнениями

,

причем функции непрерывны на вместе со своими производными и .

Для определенности, пусть . Уравнения определяют функцию , которая имеет непрерывную производную . Учитывая, что , получим .

Итак, справедливы следующие формулы и

Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , имеем

Пример 2. Найти массу верхней полуокружности радиуса , если плотность в каждой ее точке равна ординате этой точки.

Решение. Масса кривой вычисляется с помощью криволинейного интеграла:

.

Для вычисления интеграла запишем параметрические уравнения окружности: .

Параметр есть угол между радиус-вектором точки окружности и осью (рис. 2). Для верхней полуокружности параметр меняется от 0 до . Теперь вычислим :

.

Подставим в искомый интеграл выражения для расставим пределы изменения и вычислим получившийся определенный интеграл:

.