Кинематика сплошной среды

Общая задача кинематики — описание движения среды безотносительно к тому, какие внешние условия вызывают и поддерживают данное движение. Так как сплошная среда представляет собой непрерывную совокупность точек, то определить движение среды — значит описать движение всех ее точек. Движение всегда определяется по отношению к некоторой системе отсчета - системе координат. Условимся через x_1, х₂, х₃ обозначать координаты любой ортогональной системы координат, если нет специальной оговорки.

Рис. 1

Существуют два исторически сложившихся способа задания движения. Первый из них, связанный с именем Лагранжа, заключается в задании кинематических уравнений движения:

x_i= x_i (ξ₁, ξ₂, ξ₃, t) (i = 1. 2, 3), (1.1)

где ξ_i - являются координатами фиксированной (или индивидуальной) точки среды. Совокупность величин ξ ⁱ и t называют переменными Лагранжа.

Основная задача механики сплошной среды заключается в определении закона движения (1.1). Построение математической модели любой сплошной среды явно или неявно опирается на понятие закона движения.

При лагранжевом задании движения проекции скоростей и ускорений точек среды на оси координат х_i, определяются обычными равенствами

. (1.2)

Хотя лагранжев способ и применяется в некоторых задачах механики сплошных сред, все же он уступает другому, более широко используемому способу Эйлера, который заключается в задании перемещений и, скоростей v, ускорений а и других интересующих нас величин как функций координат точек пространства х_i и времени t, т. е.

u_i = u_i(x_l, x₂, x₃, t);

v_i = v_i(x_l, x₂, x₃, t);

a_i = a_i(x_l, x₂, x₃, t). (1.3)

Совокупность параметров х_i и t называют переменными Эйлера.

Основное различие между методами Лагранжа и Эйлера состоит в том, что с точки зрения Лагранжа нас интересуют законы изменения положения, скорости, ускорения и других величин данной индивидуальной точки сплошной среды, а с точки зрения Эйлера — перемещение, скорость, ускорение и т. д. в точке пространства, мимо которой в данный момент проходят частицы среды.

В механическом отношении оба способа эквивалентны.

При необходимости можно совершить переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера, и наоборот. Если известен закон движения сплошной среды в форме Лагранжа, то, чтобы выразить его в форме Эйлера, достаточно разрешить уравнения (1.1) относительно ξ_i, т. е. получить

ξ_i= ξ_i(x_l, x₂, x₃, t) (1.4)

Эти соотношения при фиксированных координатах х_i указывают те точки ξ_i сплошной среды, которые в разные моменты времени проходят через данную точку пространства.

Если в формулы для проекции скоростей v_i= v_i(ξ₁, ξ₂, ξ₃, t) идругих величин, заданных с точки зрения Лагранжа, подставить соотношения (1.4), то будут найдены функции в переменных Эйлера х_i и t.

В том случае, когда задано распределение скорости в форме Эйлера (1.3), учитывая равенства (1.2), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно х_i:

= v_i(x₁, x₂, x ₃, t) (i = 1, 2, 3).

Решив эту систему, найдем x_i = x_i(C₁, C₂, C₃, t), где С₁, С₂, С₃— постоянные, определяемые по х_i, при t = t₀, т. е. они являются координатами индивидуальной точки сплошной среды (переменными Лагранжа).

При изучении движения сплошной среды широко используют понятие поля скалярной и векторной величин. Совокупность значений той или иной величины, заданной в каждой точке рассматриваемой области, называется ее полем.

Если рассматриваемая величина—скаляр (давление р, плотность ρ, температура T и т.д.), то поле называется скалярным; если же — вектор (перемещение , скорость , ускорение и т. д.), то поле называется векторным.

Как скалярная, так и векторная величины не зависят от выбранной системы координат. Так как вектор определяется тремя числами (компонентами или проекциями на оси координат), то векторное поле равнозначно трем скалярным полям. Однако эти поля уже зависят от системы координат.

На примере поля плотности ρ и поля скоростей рассмотрим некоторые общие характеристики полей.

Поле, характеризующее данный процесс или движение, может быть стационарным (установившимся) или нестационарным dρ/dt≠0 (неустановившимся). Например, если ρ = ρ(х_1; х₂, х₃) или dρ/dt=0, то поле—стационарное.

Одно и то же движение может быть как установившимся, так и неустановившимся, все зависит от выбора системы координат, относительно которой изучается движение. Поэтому говорят, что установившееся (стационарное) движение — понятие относительное.

Если распределение плотности задано с точки зрения Лагранжа ρ = ρ (ξ₁, ξ₂, ξ₃, t), то определить изменение плотности частицы сплошной среды очень просто, оно равно (dρ/dt)_ξi. Сложнее, когда ρ = ρ(x_l, x₂, x₃, t), т.е. функция задана в переменных Эйлера. В этом случае необходимо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции, что приведет к формуле

(1.5)

Производная dρ/dt характеризует изменение плотности данной частицы сплошной среды в единицу времени и называется индивидуальной, субстанциональной или полной производной. Производная ∂ρ/∂t характеризует изменение плотности в данной точке пространства в единицу времени и называется местной или локальной.

Сумма — в правой части (1.5) называется конвективной производной.

Аналогично формуле (1.5) можно написать формулы для определения полной производной по времени проекций любой векторной величины, заданной в переменных Эйлера. Например, ускорение частицы сплошной среды в проекциях на оси декартовой системы координат имеет вид

(j = 1, 2, 3) (1.6)

а в проекциях на оси цилиндрической системы координат rΘz при осевой симметрии будет

(1.6*)

Для любого векторного поля используют понятие векторных линий. Векторные линии — это семейство линий, касательные к которым совпадают с направлением вектора. В случае поля скоростей эти линии называются линиями тока.

Если выбрать произвольную кривую С, не совпадающую с линией тока, и через каждую ее точку провести линию тока, то образуется поверхность тока. Если кривая С замкнута, поверхность тока называется трубкой тока.

Аналитически семейство линий тока можно найтииз условия коллинеарности элемента , взятого вдоль линии тока, и вектора скорости ,т.е. или в проекциях

(1.7)

где dλ — скалярный параметр. Это и есть дифференциальные уравнения линий тока. Они отличаются от уравнений, описывающих закон движения или траектории движения частиц сплошной среды

(1.8)

тем, что в уравнениях (1.7) t —параметр, а в уравнениях (1.8) t — переменная величина.

Таким образом, линии тока не совпадают с траекториями. Они совпадают только при движениях установившихся (так как в этом случае между уравнениями (1.7) и (1.8) нет различия) и при неустановившихся, когда поле скоростей изменяется по величине, но не изменяется по направлению.

Если задана плотность (или любая другая скалярная величина) как функция переменных Эйлера, то в каждый момент времени можно рассматривать поверхность

ρ(x₁,x₂,x₃,t)=const, (1.9)

которая называется поверхностью равного уровня или эквипотенциальной.

Рис. 2 Поверхности равного уровня.

Вектор, направленный по нормали в какой-либо точке М поверхности (1.9) в сторону роста ρ и равный по величине , называется вектором-градиентом скалярной функции ρ в точке М. Он обозначается и вычисляется так:

,

где и — единичные векторы по направлению и вдоль координатных осей.

Рис.3 Вектор – градиент температуры

Проекция вектора grad ρ на некоторое направление определяет изменение плотностей в этом направлении:

,

где Θ — угол между направлениями и ; cosα_i — направляющие косинусы вектора .

Наибольшее изменение плотности происходит в направлении, нормальном к поверхности (1.9).

Если в поле скорости (или любой другой векторной величины) мысленно провести некоторую поверхность S и в каждой ее точке задать нормаль , то для определения объема жидкости, протекающей за единицу времени сквозь поверхность S, необходимо вычислить интеграл

Этот интеграл называется потоком скорости через поверхность S. Поток скорости сквозь замкнутую поверхность S, отнесенный к единице объема V, заключенного внутри S, называется расхождением или дивергенцией скорости, т. е.

НР-10 = 3-02

В декартовой системе координат дивергенция скорости вычисляется по формуле

Видно, что дивергенция скорости определяет скорость объемного расширения жидкости в бесконечно малой окрестности данной точки. Поэтому поток скорости через замкнутую поверхность S должен быть равен расширению всего объема V жидкости внутри S, т. е.

(1.10)

Это равенство называется формулой Гаусса.

Если в поле мысленно проведен какой-либо замкнутый контур L, ограничивающий некоторую поверхность S, то линейный интеграл

называется циркуляцией скорости, а вектор, определяемый в виде

называется вихрем или ротором скорости. Здесь , — единичные векторы, направленные соответственно по касательной к L и по нормали к поверхности S.

В декартовой системе координат вихрь скорости вычисляется по формуле

На основании теоремы Стокса имеет место равенство

В том случае, когда все проекции скорости могут быть определены одной функцией φ(x_l, x₂, x₃, t) в виде , т.е.

= grad φ, то говорят, что поле скоростей потенциальное, функция φ — потенциал скорости. Проекция скорости v₁, на любое направление l определяется производной dφ/dl.

Необходимым и достаточным условием существования потенциальных течений являются равенства

иначе, rot = 0. Следовательно, безвихревое течение жидкости потенциально.