Лекция 4. Интегрирование дифференциальных уравнений невозмущенных движений ИСЗ. Интеграл площадей

Система дифференциальных уравнений (2) является системой 6ого порядка, поэтому должны существовать 6 независимых интегралов, полностью определяющих движение спутника, т.е. вид и форму орбиты; ее положение в пространстве и закон движения по ней. Каждый интеграл содержит одну произвольную постоянную, поэтому 6 произвольных постоянных полностью определяют невозмущенное движение ИСЗ.

Интегрируя (2) методом разделения переменных, получим:

Три интеграла площадей; интеграл энергии; интеграл орбиты и динамический интеграл.

Интеграл площадей.

Запишем дифференциальные уравнения невозмущенного движения: Умножим по схеме и сложим, тогда:

В каждом из полученных уравнений заменим одну производную через дифференциал, тогда получим:

интегрируя эту систему найдем:

умножим по схеме, сложим

и получим:

(3)

Это значит, что невозмущенная орбита ИСЗ лежит в плоскости, проходящей через центр масс Земли и называется орбитальной плоскостью.

Если в орбитальной плоскости выбрать произвольную систему плоских прямоугольных координат ξ и η, то по аналогам с пространственной системой по осям ξ и η, получим:

ξ умножим по схеме, сложим

-η и найдем:

Заменим одну производную через

дифференциал, тогда:

после интегрирования найдем:

(4)

В данной плоской системе координат рассмотрим возможность определения и через полярные координаты и φ, тогда ,

Дифференцируя, найдем: ; (5)

Подставляя (5) в (4) получим:

Откуда:

или

(6)

Если в этом уравнении взять производную по времени, то получим удвоенную секториальную скорость, т.е. удвоенную площадь, описываемую радиус-вектором τ в единицу времени.

Таким образом, секториальная скорость есть величина постоянная и тем самым строго доказан второй закон Кеплера. Поэтому первые 3 интеграла называются интегралами площадей.