Числовые характеристики ДСВ

Как уже было сказано, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, так называемыми числовыми характеристиками.

О. 1. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений возможных значений величины на соответствующие вероятности, т.е. .

Вероятностный смысл : математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства :

Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений;

Если , то .

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: ;

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: ;

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

О. 2. Отклонением случайной величины называется величина вида: .

Теорема 1. Математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю, т. е. .

О. 3. Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины , т. е.

.

Вероятностный смысл : дисперсия ДСВхарактеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания (в квадратных единицах).

Свойства :

Всегда ;

Если , то ;

,где;

Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Формула для вычисления дисперсии:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

.

О.4. Средним квадратическим отклонением (сигма) ДСВ называют квадратный корень из дисперсии:

.

Вероятностный смысл : среднее квадратическое отклонение ДСВимеет тот же вероятностный смысл, что и дисперсия, с той лишь разницей, что измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Частные случаи:

1. Если ДСВ имеет биномиальное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

2. Если ДСВ имеет геометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

3. Если ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

.

Пример 1. Пусть заданы два ряда распределения ДСВ и :

	0,1	0,4	0,2	0,3

	0,2	0,6	0,2

Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Решение:

;

;

;

;

;

;

;

.