Нормальное распределение

О.2. Закон распределения НСВ называется нормальным, если ее плотность распределения задается в виде:

,

где и - параметры нормального распределения.

Вероятностный смысл параметров нормального распределения:

- математическое ожидание,

- среднее квадратическое отклонение.

О.3. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса и он имеет вид:

О. 4. Нормальное распределение с параметрами называют нормированным (стандартным).

Свойства нормального распределения:

1. Зная плотность распределения и используя формулу ,

можно найти функцию распределения:

.

2. Вероятность попадания нормально-распределенной НСВ в интервал определяется по формуле:

,

где - функция Лапласа.

3. Вероятность того, что отклонение нормально-распределенной НСВ от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше заданного числа , определяется по формуле:

.

Если , то .

Правило трех сигм:

Если НСВ распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е. все значения НСВ попадают в интервал с вероятностью близкой к единице.

Теорема 1. (центральная предельная теорема Ляпунова)

Если НСВ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, то влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример 3. Средний вес пойманной рыбы составляет 375 г., а среднее квадратическое отклонение 25 г. Считая вес пойманной рыбы НСВ- распределенной по нормальному закону, найти вероятность того, что вес очередной пойманной рыбы будет не менее 300, но и не более 420 граммов. Найти вероятность того, что вес очередной пойманной рыбы будет отличаться от среднего веса не более чем на 0,3.

Решение:

.