2014-02-09
1532
Определение 1. Функция 
называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Если концевая точка входит в промежуток, то непрерывность в ней понимаем как одностороннюю.
Дадим третье определение непрерывности в точке, которое будем использовать при доказательстве теоремы.
Допустим, что функция определена в точке 
и некоторой ее окрестности. Рассмотрим точку 
из этой окрестности и приращение функции 
.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и
. (1)
Равенство (1) означает, что бесконечно малое изменение аргумента непрерывной функции влечет за собой бесконечно малое изменение самой функции.
Теорема 1. Всякая элементарная функция является непрерывной в области ее определения.
Доказательство. К элементарным функциям относятся: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
и др. тригонометрические функции; 
и др. обратные тригонометрические функции; 
; 
; 
и др. гиперболические функции. А также их линейные комбинации и сложные функции, образованные на их основе.
Докажем непрерывность функции для 
. Используем определение 2.
Рассмотрим
,
где 
произвольная фиксированная точка.
Тогда
,
т.к. 
(БМФ) и 
(ограниченная).
Аналогично для остальных функций.
Особое значение имеет непрерывность функции на отрезке. В этом случае можно доказать следующую теорему.
Теорема 2 (Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке 
функция достигает на этом отрезке хотя бы один раз своего наибольшего и наименьшего значения.
Обозначают:
, 
.
Наибольшее значение функции – глобальный максимум, наименьшее значение функции – глобальный минимум.
С помощью понятия непрерывности функции можно определить также условия существования обратной функции.
Теорема 3. Если функция определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке существует для нее обратная функция, которая также является строго монотонной и непрерывной на своей области определения.
