double arrow

Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств. Арифметическое n-мерное векторное пространство

Пусть Р – поле. Элементы a, b,... Î Р будем называть скалярами.

Определение 1. Класс V объектов (элементов) , , ,... произвольной природы называется векторным пространством над полем Р, а элементы класса V называются векторами, если V замкнуто относительно операции «+» и операции умножения на скаляры из Р (т.е. для любых , ÎV +Î V;"aÎ Р aÎV), и выполняются следующие условия:

А1: алгебра <V, +> - абелева группа;

А2: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется a(b)=(ab)- обобщенный ассоциативный закон;

А3: для любых a, bÎР, для любого ÎV выполняется (a+b)= a+ b;

А4: для любого a из Р, для любых , из V выполняется a(+)=a+a(обобщённые дистрибутивные законы);

А5: для любого из V выполняется 1 = , где 1 – единица поля Р — свойство унитарности.

Элементы поля Р будем называть скалярами, а элементы множества V — векторами.

Замечание. Умножение вектора на скаляр не является бинарной операцией на множестве V, так как это отображение P´V®V.

Рассмотрим примеры векторных пространств.

Пример 1. Нулевое (нуль-мерное) векторное пространство — пространство V0={} — состоящее из одного нуль-вектора.

+=и для любого aÎР a=. Проверим выполнимость аксиом векторного пространства.

Заметим, что нулевое векторное пространство существенно зависит от поля Р. Так, нульмерные пространства над полем рациональных чисел и над полем действительных чисел считаются различными, хоть и состоят из единственного нуль-вектора.

Пример 2. Поле Р само является векторным пространством над полем Р. Пусть V=P. Проверим выполнимость аксиом векторного пространства. Так как Р — поле, то Р является аддитивной абелевой группой и А1 выполняется. В силу выполнимости в Р ассоциативности умножения выполняется А2. Аксиомы А3 и А4 выполняются в силу выполнимости в Р дистрибутивности умножения относительно сложения. Так как в поле Р существует единичный элемент 1, то выполняется свойство унитарности А5. Таким образом, поле Р является векторным пространством над полем Р.

Пример 3. Арифметическое n-мерное векторное пространство.

Пусть Р — поле. Рассмотрим множество V= Pn ={(a1, a2, …, an) ½ ai Î P, i=1,…, n}. Введём на множестве V операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр по следующим правилам:

"= (a1, a2, …, an), = (b1, b2, …, bn) Î V, "aÎ P += (a1 + b1, a2+ b2, …, an+ bn) (1)

a=(aa1, aa2, …, aan) (2)

Элементы множества V будем называть n-мерными векторами. Два n-мерных вектора называются равными, если их соответствующие компоненты (координаты) равны. Покажем, что V является векторным пространством над полем Р. Из определения операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр следует, что V замкнуто относительно этих операций. Так как сложение элементов из V сводится к сложению элементов поля Р, а Р является аддитивной абелевой группой, то и V является аддитивной абелевой группой. Причём, = , где 0 — ноль поля Р, -= (-a1, -a2, …, -an). Таким образом, А1 выполняется. Так как умножение элемента из V на элемент из Р сводится к умножению элементов поля Р, то:

— А2 выполняется в силу ассоциативности умножения на Р;

— А3 и А4 выполняются в силу дистрибутивности умножения относительно сложения на Р;

— А5 выполняется, так как 1 Î Р — нейтральный элемент относительно умножения на Р.

Определение 2. Множество V= Pn с операциями, определёнными формулами (1) и (2) называется арифметическим n-мерным векторным пространством над полем Р.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: