2014-02-12
3942
.
Возможны другие формы записи уравнения плоскости, связанные с различным представлением вектора нормали 
.
Если вектор задан своим модулем и направляющими косинусами,
 |
то подстановка этих соотношений в равенство (*) дает
или
- нормальное уравнение плоскости,
где 
.
Параметр 
определяет проекцию вектора 
, проведённого из начала координат в любую точку плоскости на направление вектора нормали в этой точке, - расстояние от начала координат до плоскости.
Пусть 
точка, не лежащая в плоскости 
; а 
- произвольная точка, лежащая в этой плоскости. Радиус-векторы этих точек - 
и 
.
 |
Отклонение точки от плоскости есть разность проекций радиус- векторов и на направление нормали. Модуль отклонения равен расстоянию от точки до плоскости 
. Отклонение положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости; в противоположном случае отрицательно. В координатной форме, с учетом 
, отклонение от плоскости определяется равенством
.
Для определения расстояния от плоскости до начала координат разделим левую часть уравнения плоскости на модуль вектора нормали
: 
,
.
Искомое расстояние равно 
.
Подставляя координаты точки 
и точки 
, лежащей в плоскости, в формулу вычисления отклонения, находим
.
Знак минус означает, точка 
и начало координат лежат по одну сторону от плоскости.
Расстояние между параллельными плоскостями – расстояние от точки, лежащей на одной до другой плоскости.
Пример 3. Записать уравнения плоскостей 
и 
с нормальным вектором 
, отстоящих на расстоянии, равном двум от начала координат в направлении вектора , и в противоположном направлении.
Определим, предварительно, направляющие косинусы вектора
С учетом смысла параметра в нормальном уравнении плоскости искомые уравнения имеют вид
Пусть 
,
,
- радиус-векторы фиксированных точек: 
, 
и 
, лежащих в плоскости 
, а - радиус-вектор произвольной ее точки 
. Тогда, из условия компланарности векторов 
, 
, 
, находим
или по правилу вычисления смешанного произведения векторов
Если в качестве точек ,и выбрать точки пересечения плоскости с осями координат(т.е. положить - 
,
и 
), то
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , 
и 
.
Воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей через три точки, находим
или
.
Окончательно: 
.
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 
, и 
.
Поскольку точки 
и 
лежат на координатных осях при составлении уравнения плоскости удобно воспользоваться уравнением плоскости в отрезках. При этом 
и уравнение имеет вид
или 
.
