Задачи с решениями. Задача 11.1. Найти выборочный коэффициент корреляции и уравнение линейной регрессии Y на X по данным пяти наблюдений

Задача 11.1. Найти выборочный коэффициент корреляции и уравнение линейной регрессии Y на X по данным пяти наблюдений:

Решение. Используем формулы:

1) Выборочный коэффициент корреляции:

= ;

2) линейное уравнение регрессии Y на X:

,

где ,

, , .

Проведем необходимые вычисления, для чего составим расчетную таблицу:

№
		1,25		1,5625	2,5
	2,5	1,45	6,25	2,1025	3,625
		1,65		2,7225	4,95
	3,5	1,85	12,25	3,4225	6,475
		2,05		4,2025	8,2
∑		8,25	47,5	14,0125	25,75

Тогда получаем:

,

,

,

.

Запишем уравнение линейной регрессии Y на X:

.

Ответ: , .

Задача 11.2. Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения линейных регрессий Y на X и X на Y по данным выборки X и Y, сведенным в корреляционную таблицу:

Y X
					8	6

Решение.

1) Найдем оценки математических ожиданий X и Y:

;

2) Найдем выборочные дисперсии:

,

.

3) Найдем выборочные средние квадратические отклонения:

.

4) Найдем выборочный корреляционный момент:

.

5) Найдем выборочный коэффициент корреляции:

= .

6) Напишем выборочное уравнение линейной регрессии Y на X:

7) Напишем выборочное уравнение линейной регрессии X на Y:

Ответ: .

Задача 11.3. Знания 10 студентов проверены по двум тестам А и В. Оценки по стобальной системе оказались следующими:

По А: 92 96 90 50 75 83 65 70 62 55

По В: 94 98 84 52 70 87 62 74 59 50.

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции: а) Спирмена; б) Кендалла и оценить их значимость при уровне значимости α=0,1.

Решение. 1) Присвоим ранги a_i оценкам x_i по тесту А, расположив эти оценки в порядке убывания:

ai
xi

2) Присвоим ранги b_i оценкам y_i по тесту В, расположив их в порядке убывания:

bi
yi

3) Рангу a ₁=1 оценки 96 по тесту А соответствует ранг b ₁ оценки 98 (первого студента) по тесту В

Рангу a ₂=2 оценки 92 по тесту А соответствует ранг b ₂=2 оценки 94 по тесту В.

Рангу a ₃=3 оценки 90 по тесту А соответствует ранг =4 оценки 84.

Аналогично получаем:

= 3, = 6, =5, =7, =8, =10, =9.

4) Выпишем последовательности рангов и :

и получим разности рангов:

= = 0; = =0; ; ; ; .

5) Вычислим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

6) Вычислим выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла:

где ₁ + R ₂ +…+ R_{n -1} = 9 + 8 + 6 + 6 + 4 + 4 + 3 + 2 + 0 = 42.

Тогда получаем:

7) При уровне значимости находим число

Сравниваем числа T _крит и : так как 0,96 > 0,186, то > T _крит и ранговая корреляция между признаками является значимой.

8) При уровне значимости α = 0,1 находим:

Сравним числа и :

так как 0,87 > 0,43, то >

Значит корреляционная связь между сравниваемыми оценками значимая.

Ответ: гипотеза о наличии корреляционной связи между оценками принимается.

Задачи

11.1. Найдите выборочный коэффициент корреляции и выборочное линейное уравнение Y на X по данным семи наблюдений:

xi	4,0	4,25	4,5	4,75	5,0	5,25	5,5
yi	1,25	1,35	1,50	1,65	1,80	2,05	2,30

11.2. Найдите выборочный коэффициент корреляции и выборочное линейное уравнение Y на X по данным пяти наблюдений:

xi	1,25	2,05	3,1	3,95	5,0
yi	4,2	2,5	3,5	1,0	2,1

11.3. Даны результаты 50-ти наблюдений, собранные в корреляционную таблицу:

Y X								my
mi

Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные линейные уравнения регрессий Y на X и X на Y, проверив гипотезу значимости выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости

11.4. По данным 50-ти наблюдений, собранным в корреляционную таблицу:

Y X								my
mi

Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные линейные уравнения регрессий Y на X и X на Y, проверив гипотезу значимости выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости

11.5. В результате 79 опытов получена корреляционная таблица:

Y X	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	my
0,5
0,6
0,7
0,8
mi

Определить выборочный коэффициент корреляции, проверить гипотезу значимости коэффициента корреляции при уровне значимости , написать выборочные уравнения регрессий Y на X и X на Y.

11.6. В результате 60 опытов получена корреляционная таблица величин X и Y:

Y X	7,0	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5	my
mi

Определить выборочный коэффициент корреляции, проверить гипотезу значимости коэффициента корреляции при уровне значимости , написать выборочные уравнения регрессий Y на X и X на Y.

11.7. Знания 10 студентов оценены двумя преподавателями по стобальной системе и выставлены следующие оценки:

Найти выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла и проверить их значимость при уровне значимости .

11.8. Два контролера расположили 10 деталей в порядке ухудшения их качества. В результате получены две последовательности рангов:

Найти выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла и проверить их значимость при уровне значимости .

11.9. Три арбитра A, B и C оценили мастерство 10 спортсменов. В итоге были получены три последовательности рангов:

A:										10;
B:										4;
C:										8.

Определите пару арбитров, оценки которых наиболее согласуются, используя:

а) выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена;

б) выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Ответы

11.1. _xy = 0,99;

11.2. _xy =

11.3. _xy = 0,84;

11.4. _xy = .

11.5. _xy =

11.6. _xy = 0,71;

11.7. гипотеза о наличии корреляционной связи между оценками принимается.

11.8. ; гипотеза о наличии корреляционной связи между наблюдаемыми величинами принимается.

11.9. a)

Наиболее согласуются оценки арбитров A и C;

б)

Наиболее согласуются оценки арбитров A и C.

Приложение 1

Контрольные работы и контрольные вопросы по теории