Рациональные дроби

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q. Любую неправильную дробь можно представить в виде: , где P(z) = Q(z) S(z) + R(z), a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z). Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь и z₀ – корень ее знаменателя кратности k, т.е. то существуют число А и многочлен P₁(z) такие, что

, (8.4)

где последнее слагаемое является правильной дробью.

Доказательство.

. При этом последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем число А так, чтобы z₀ было корнем многочлена P(z) – AQ₁(z), то есть . Тогда по теореме Безу . Лемма доказана.

Замечание. Если коэффициенты многочленов Р и Q и выбранный корень знаменателя – действительные числа, то и коэффициенты многочленов P₁ и Q₁ – тоже действительные числа.

Теорема 8.3. Если - правильная рациональная дробь и , то существуют такие комплексные числа что

. (8.5)

Доказательство.

Применив k₁ раз лемму 1 к дроби , получим:

где . Применяя затем ту же лемму к остальным корням знаменателя, придем к формуле (8.5).

Лемма 2. Пусть Р(х) и Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами, причем Q(x) = (x ² + px + q)^m Q ₁ (x), где p ² - 4 q < 0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р₁(х), что

(8.6)

где последнее слагаемое тоже является правильной дробью.

Доказательство.

(8.7)

где последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем В и С такими, чтобы число z₀ =x₀ +iy₀ (корень многочлена z ² + pz + q) было корнем многочлена P(х)-(Bх+C)Q₁(х). Можно показать, что при этом где .

Следовательно, В и С – действительные числа, а z₀ и (число, комплексно сопряженное z₀) – корни многочлена P(х)-(Bх+C)Q₁(х). Тогда по теореме Безу он делится на

. Поэтому последнюю дробь в равенстве (8.7) можно сократить на x ² + px + q и получить равенство (8.6).

Используя эту лемму, можно доказать следующую теорему:

Теорема 8.4. Если - правильная рациональная дробь, а

где то существуют такие действительные числа

что

. (8.8)

Примеры.

1. . Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х, следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей должны быть равными. Отсюда , то есть А = 1, В = -1. Следовательно, исходную дробь, знаменатель которой имеет только действительные корни (причем простые, то есть кратности 1) можно представить в виде: .

2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях, получаем:

, откуда А = 1, В = -3, С = 3, D = 5. Таким образом, данную дробь, знаменатель которой имеет действительный корень х = 0 кратности 2 и комплексно сопряженные корни преобразуем в сумму дробей:

.

Лекция 9. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

В пошлой лекции было показано, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде линейной комбинации дробей вида:

1) , 2) , 3) , 4) . (9.1)

Эти дроби называются простейшими (или элементарными) дробями. Выясним, каким образом они интегрируются.

1)

2) (9.2)

3) (9.3)

Сделаем замену и обозначим . Тогда требуется вычислить интеграл

(9.4)

4) При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой, что и в предыдущем случае, и представим подынтегральное выражение в виде:

где Рассмотрим отдельно способ интегрирования I_n.

. (9.5)

Таким образом, получена рекуррентная формула, позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к

Итак, интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией.

Теорема 9.1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь в виде: (см. лекцию 8). При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 8.4 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример.

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Из ранее доказанного следует, что любую рациональную дробь можно проинтегрировать, поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной, если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби. В частности, для интегралов вида , где R – рациональная функция (многочлен или рациональная дробь), r₁,…,r_n – дроби с одним и тем же знаменателем m , а , замена приводит к . Таким образом, х является рациональной функцией t, следовательно, его производная тоже будет рациональной функцией. Кроме того, - тоже рациональные функции от t (так как p_i – целое число). Поэтому после замены подынтегральное выражение примет вид R₁ (t)dt, где R₁ – рациональная функция, интегрируемая описанными выше способами.

Замечание. С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида , и, в частности,

Примеры.

1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,

2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому

Лекция 10. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.

Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

1. Интегралы вида вычисляются с применением формул (10.1) Пример.

2. Интегралы вида , где т и п – целые числа, интегрируются с помощью замен: а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, т), можно сделать замену t = sin x (или t = cos x при нечетном п). Пример 1. Пример 2. б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул . Пример. в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x. Пример.

3. Интегралы вида где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: , тогда , (10.2) то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t. Пример. Если подынтегральная функция имеет вид R (sin²x, cos²x), можно выбрать замену t = tg x. При этом , (10.3) и степень полученной рациональной функции будет ниже, чем при универсальной тригонометрической подстановке, что облегчает дальнейшее интегрирование. Пример.

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

При вычислении интегралов свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены:

а) при этом dx = acos t dt, .

б) tg t, тогда ,

в) соответственно

Пример 1. Вычислим интеграл Пусть тогда

Заметим, что

. Поэтому ответ можно представить в виде:

Пример 2. Для вычисления интеграла выберем замену x = 3tg t. При этом

, где u = sin t. Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим:

(Учитываем, что ).

Пример 3. Вычислим интеграл с помощью замены . Тогда

Интегрируемость в элементарных функциях.

В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций. Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы, то есть имеют первообразные, также являющиеся элементарными функциями. В качестве примеров можно привести функции и другие. Этим операция интегрирования отличается от дифференцирования, при котором производная любой элементарной функции является тоже элементарной функцией. Для отыскания интегралов от функций, не имеющих элементарной первообразной, вводятся и используются новые классы функций, не являющихся элементарными.

Лекция 11.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем для определенного интеграла.

Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг,

объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие.

Рассмотрим отрезок [ a, b ] оси О х и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек x_i: a=x ₁ < x ₂ <…< x _n-1 < x_n=b. При этом точки x_i называются точками

. y

y=f(x)

x

х₀=а x₁ х_п-1 х_п=b

разбиения, отрезки [ x_i-1, x_i ] – отрезками разбиения (их длины обозначаются Δ x_i), а число

| τ | = max (Δ x ₁, Δ x ₂,…, Δ x_n)

называется мелкостью разбиения.

Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξ _i и составим сумму вида

, (11.1)

называемую интегральной суммой функции f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δ x_i и высотами f(ξ_i).

Определение 11.1. Если для любого разбиения отрезка [ a, b ] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при и :

= I, (11.2)

то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [ a, b ], а число I называется определенным интегралом f(x) на [ a, b ] и обозначается Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Кроме того, определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями:

1) , 2)

Теорема 11.1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем.

Доказательство. Пусть f (x) интегрируема на [ a,b ] и . Зафиксируем какое-либо ε, например, ε = 1. По определению 11.1 существует такое δ > 0, что для любой интегральной суммы σ_τ, соответствующей разбиению, для которого |τ| < δ, верно неравенство | σ_τ – I | < 1, откуда I – 1 < σ_τ < I + 1, то есть множество интегральных сумм функции f (x) ограничено.

Если предположить при этом, что f (x) неограничена на [a,b], то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения. Тогда произведение f (ξ_i) Δ x_i на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения, то есть интегральная сумма оказывается неограниченной, что противоречит условию интегрируемости f (x).

Замечание. Условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле

f (x) = 1, если х рационально, и f (x) = 0, если х иррационально. Для нее на любом отрезке [ a,b ] и при любом разбиении на каждом отрезке Δ x_i найдутся как рациональные, так и иррациональные значения х. Выбрав в качестве ξ_i рациональные числа, для которых f (ξ_i ) = 1, получим, что = b – a. Если же считать, что ξ_i – иррациональные числа, то = 0. Следовательно, предел интегральных сумм не существует, и функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке.