Примеры дифференциальных уравнений в естествознании и экономике

Пример 7.1: Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой проведенной в этой же точке с коэффициентом пропорциональности к=3 составит дифференциальное уравнение (рис.11.2).

Решение: Пусть М(х,у) произвольная точка, через которую проходит кривая у = у (х)

По условию задачи

Так как по условию к=3, то уравнение (7.1) запишем в виде

(7.9)

Пример 7.2: Кривая проходит через точку (1;5) и обладает, тем свойством, что отрезок отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсиссе точки касания. Найти уравнение кривой.

Решение: Пусть М(х,у) –любая точка искомой кривой у = у (х) уравнение касательной в точке М(х,у) имеет

Где х,у –текущие координаты касательной. Пологая в этом уравнении х=0, находим

Так что ОВ: ОВ=

Условие задачи приводит к уравнению

(7.10)

Пример7.3: Материальная точка массы m=1г движется прямолинейно, на нее действует в направлении движения сила, пропорциональная времени с коэффииентом к₁=2*10^{-5 кг м/с, и сила сопротивления пропорциональная скорости, с коэффииентом к}₂= 0,003кг/с. Найти скорость точки через 3сек после начала движения, если начальная скорость .

Решение: Пусть

Тело движется под действием равнодействующих двух сил ,

Дифферениальное уравнение движения запишется

(7.11)

Пример 7.4: рассмотрим следующую задачу о текучести рабочей силы.

Пусть изменение ∆у числа рабочих за время пропорционально с точностью до бесконечно малых более числу у() и длине рассматриваемого временного промежутка т.е

(7.12)

Знак минуса с права связан с тем, что мы рассматриваем задачу о текучести кадров, т.е , следовательно знак в правой части должен быть тоже отрицательным. Равенство (7.12) приближенное потому, что в нем опущены бесконечно малые более высокого порядка малости по сравнению с . Это в частности означает что чем меньше , тем точнее это приближенное равенство. Чтобы получить из приближенного равенства точное, нужно устремить к нулю. Однако, если это сделать непосредственно в (7.12), то это не даст ничего, кроме тривиального равенства 0=0, не дающего никакой информации для определения искомой функции у(). Поэтому поступим иначе. Разделим обе части в равенстве (7.12) на :

После чего перейдем к пределу при .

В пределе получим

(7.13)

Пример 7.5: число рождений за момент времени . И численности населения в момент времени . Коэффициент пропорциональности обозначим через n; он измеряет рождаемость. Естественно, что этот коэффициент можно считать постоянным лишь в пределах такого интервала времени, в течении которого не происходит изменения условий, влияющих на рождаемость, также естественно, что этот коэффициент, вообще говоря, будет разным для разных регионов. Скажем, он в данный момент наибольшее значение имеет в Казахстане, а наименьший в Латвии и Эстонии.

С другой стороны, наряду с рождением новых членов общества имеет место и такое печальное явление как смерть, в силу старости, болезней, несчастных случаев. Число этих явлений также пропорционально численности населения и промежутку времени , коэффициент пропорциональности обозначим через m.

Рассуждая аналогично, как и в предыдущем примере, можем написать, что прирост населения равен разности между числом родившихся и числом , т.е

Откуда

Т.е для неизвестной численности населения получим уравнение

(7.14)

Где

Пример 7.6: Следующий пример приведем из естествознания.

Рассмотрим явление радиоактивного распада. Закон радиоактивного распада, гласит, что изменение массы радиоактивного вещества пропорционально в промежуток массе , длине промежутка . Коэффициент обозначим через .

Имеем

Откуда, рассуждая как и выше, получим уравнение

(7.15)

Таким образом мы пришли к понятию дифференциального уравнения.

Определение 7.1 Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее искомое функции у, и независимое переменное и ее производные от искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение записывается в виде

()

Здесь есть заданная функция от (n+2) переменных, удовлетворяющая определенным условиям непрерывности и дифференцируемости, а функция от х –решение дифференциального уравнения, которое надо найти.

Определение 7.2 Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производных, входящих в данное уравнение.

В примерах (1-6) является дифференциальным уравнением первого порядка.

Уравнение вида

Является уравнением четвертого порядка.

Определение 7.3 Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция , имеющая на некотором интервале (а,б) производные , ,…, до n порядка включительно и удовлетворяющая этому уравнению.