Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Алгебраические критерии устойчивости. Наиболее распространен в инженерной практике алгебраический критерий Гурвица




Наиболее распространен в инженерной практике алгебраический критерий Гурвица. Ниже приведены формулировки и методика применения критерия Гурвица.

Критерий Гурвица.

Запишем характеристическое уравнение системы n-го порядка

.

Примечание. В некоторых учебниках и задачниках по курсу ТАУ используют другую индексацию коэффициентов, а именно:
.

Однако, важна не индексация коэффициентов характеристического уравнения, а соответствие каждого из них порядку производной в дифференциальном уравнении. Поэтому формально целесообразно использовать форму записи, при которой индекс коэффициента соответствует порядку производной.

Для анализа устойчивости с помощью критерия Гурвица необходимо составить матрицу коэффициентов характеристического уравнения следующего вида:

(4.10)

Линейная система устойчива, если при > 0 положительны все диагональные миноры матрицы коэффициентов, т.е.

= > 0

= > 0

= > 0

и т.д., или в общем виде

= > 0, i = 1,2, ..., n (4.11)

Если хотя бы один из определителей (4.11) отрицателен, то система неустойчива.

Так как последний столбец главного определителя содержит всегда только один элемент , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей

= . (4.12)

Если = 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учетом (4.12) это условие распадается на два:

= 0 и = 0. (4.13)

Условию = 0 соответствует один нулевой корень, т.е. апериодическая граница устойчивости, а условию = 0 - пара мнимых корней, т.е. колебательная граница устойчивости.

Совершенно очевидно, что для систем первого и второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Для системы третьего порядка с характеристическим уравнением

условие устойчивости

(4.14)

Последнее неравенство при >0 эквивалентно неравенству >0. Следовательно, для системы третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, требуется, чтобы > 0.

Учитывая выражение для , можно сформулировать мнемоническое правило оценки устойчивости систем третьего порядка:

произведение средних коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних.

Для устойчивости системы четвертого порядка с характеристическим уравнением

(4.15)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

> 0. (4.16)

Нетрудно доказать, что при положительности всех коэффициентов условие (4.16) обеспечивает выполнение необходимого неравенства > 0.




Таким образом,

для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель были положительными.

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n>5 достаточные условия устойчивости усложняются, а вычисления определителей становится громоздким.

Пример 4.1. Определим с помощью критерия Гурвица устойчивость САУ при следующих значениях параметров:

TЯ = 0,15 c; TM = 1 c; TП = 0,01 c; KΣ = 15.

Характеристическое уравнение системы

(TП× p + 1)( TЯ TM× p2 + TM× p + 1) + KΣ = 0,

или ,

где a3 = TП TЯ TM = 0.01× 1× 0,15 = 0,0015 c3;

a2 = TЯ TM + TП TM = 1× 0,15+ 1× 0,01 = 0,16 c2;

a1 = TM + TП = 1 + 0,01 = 1,01 c;

a0 = 1+15 = 16.

Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, т.е. необходимое условие устойчивости выполняется. Проверим выполнение достаточного условия, для чего вычислим определитель

D2 = a1× a2 - a3× a0 = 1,01× 0,16 - 0,0015× 16 = 0,1616 - 0,0224 = +0,1376,

D2 > 0, следовательно, система устойчива.

Решим теперь обратную задачу: определим, какое максимальное значение суммарного коэффициента усиления КS допустимо по условию устойчивости.

Максимальное допустимое значение К определяется из условия нахождения системы на границе колебательной устойчивости. Это значение К называют критическим или граничным

D2 = a1× a2 - a3× a0кр = 0,

отсюда a0кр = a1× a2 /a3 = 1,01× 0,16/0,0015 = 107,73.



Ккр = a0кр - 1 = 107,73 - 1= 106,73.

Следовательно, рассмотренная в примере система устойчива, если К < Ккр.





Дата добавления: 2015-03-27; просмотров: 658; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8758 - | 7492 - или читать все...

Читайте также:

 

3.228.24.192 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.003 сек.