Теоремы Лапласа

Формула Бернулли. Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие А или событие ` А. Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом испытании, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через p, а вероятность появления события Ā через q (q = 1 -p).

Вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А появится ровно к раз (и не появится п-k раз), обозначим через Р_n (k), тогда

P_n(k)= , (6.1.)

где

(6.2.)

Формула (6.1.)называется формулой Бернулли.

Число k_о, которому при заданном п соответствует максимальная биномиальная вероятность Р_n(к_о), называется наивероятнейшем числом появления события А. При заданных п и p это число определяется неравенствами np-q≤k₀≤np+p (6.3)

Если число пр + р не является целым, то kо равно целой части этого числа (к₀ = [пр + р]); если же пр + р - целое число, то kо имеет два значения k'₀=np-q, k"=np + p.

Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее к раз; б) более к раз; в) не менее к раз; г) не более к раз, находят соответственно по формулам: а)P(A)=P_n(o)+P_n(1)+……+P_n(k-1) (6.4)

б)P(A)=P_n(k+1)+P_n(k+2)+……+P_n(n) (6.5)

в)P(A)=P_n(k)+P_n(k+1)+……+P_n(n) (6.6)

г)P(A)=P_n(0)+P_n(1)+……+P_n(k) (6.7)

Распределение Пуассона. В одинаковых условиях производится п независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р или событие Āс вероятностью q (q= 1- p). Вероятность того, что при п испытаниях событие А появится к раз (и не появится п – k раз) определяется формулой Бернулли (см. формулу (6.1)).

Рассмотрим случай, когда п является достаточно большим, а р - достаточно малым; положим пр = а, где а - некоторое число.

Распределением Пуассона называется распределение вероятностей дискретной случайной величины, определяемое формулой Пуассона

(6.8)

Постоянную a=np (6.9)

входящую в формулу (6.1), называют параметром распределения Пуассона.

Закон распределения Пуассона можно записать в виде следующей таблицы:

X	0	1	2	….	K	….
P	e^-a	ae^-a		….		….

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0 < р < 1), то вероятность P_п(к) того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно к раз, приближенно выражается формулой

, (6.10)

или

, (6.11)

при

, (6.12)

где

(6.13)

Отметим, что таблицы значений функции (6.13) даны в приложениях к учебникам и учебным пособиям по теории вероятностей; имеются они и в данном справочном пособии.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0 < р < 1), то вероятность P_n(k_1, k₂) того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k₁раз и не более k₂ раз, приближенно определяется формулой

, (6.14)

где

(6.15)

Эту формулу можно представить в другом виде:

P_n(k₁,k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁) (6.16)

где Ф(х) – функция Лапласа, т.е.

(6.17)

а х₁, и х₂ определяются равенствами (6.15).

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Вероятность того, что при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), модуль отклонения частоты появления события от вероятности события не превышает положительного числа ε, приближенно равна удвоенному значению функции Лапласа при

(6.23)

Пример 1. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

Решение. По условию n = 75, p = 0,3, поэтому q = 1- р=0,7. Составляем двойное неравенство (6.5): 75 • 0,3 - 0,7 ≤ k₀ < 75 • 0,3 + 0,3;

21,8 ≤ k₀ < 22,8.

Отсюда следует, что k₀ = 22 (k₀ = [22,8]).

Ответ: 22

Пример 2. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение. а) По формуле (6.6) при п = 10, к₁ = 4, к₂= 6, р = q = 0,5 находим

б) Согласно формуле (6.7) получим .

Ответ: а) 21/32; б) 1023/1024.

Пример 3. Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью, равной 0,001. Какова вероятность того, что при 2000 испытаниях событие А появится не менее двух и не более четырех раз.

Решение: Из условия задачи следует, что п = 2000, р = 0,001, а = пр = 2000 • 0,001 = 2, 2 < к < 4. Следовательно