Числовые характеристики СВ– это числа, которые характеризуют особенности распределения СВ.
I. Модой СВ X (обозн: ) называется такое значение СВ:
в случае дискретной СВ | в случае непрерывной СВ | |
которому соответствует максимальное значение вероятности. | которому соответствует максимум дифференциальной функции. | |
· Если график распределения СВ X обладает единственным локальным максимумом, то распределение называется модальным. | ||
· Если график распределения имеет несколько локальных максимумов, то распределение называется полимодальным. | ||
· Если график распределения не имеет локальных максимумов, но имеет локальный минимум, то распределение называется антимодальным | ||
II. Медианой СВ X называется значение СВ (обозн: ), для которого справедливо:
в случае дискретной СВ | в случае непрерывной СВ |
Графически – это точка , для которой прямая делит пополам площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения. |
III. Математическим ожиданием СВ называется ориентировочное (среднее) число, около которого группируются все возможные значения СВ. (Обозн: )
|
|
1) Если принять за "вес" значения дискретной СВ, то центр масс будет определяться формулой: ,
учитывая что , получим:
2) В случае с непрерывной СВ точечная вероятность . Поэтому работают с интервальной вероятностью: , которая равна площади частичной криволинейной трапеции графика дифференциальной функции СВ.
При большом разбиении интервала значений СВ частичная криволинейная трапеция принимает форму прямоугольника, следовательно .
Тогда . Переходя к пределу, получим:
Замечания:
1. Если над СВ выполняют функциональные операции и получают новую СВ , то , где – вероятности значений .
2. Математическое ожидание существует не для всех СВ.
¨ Если распределение является: – симметричным;
– модальным;
и для него существует математическое ожидание,
то оно () совпадает с медианой и модой – центром симметрии распределения.
Свойства:
Следствие:
Доказательства свойств для дискретной СВ:
1. . Т.е. с – единственно возможноезначение СВ, т.е. оно достоверно.
Тогда . В результате ■
2. . ■
3. Рассмотрим две СВ, заданные рядом распределения:
Составим новую СВ :
Проверим
Найдём математическое ожидание:
■
4. Рассмотрим две независимые СВ, заданные рядом распределения:
Составим новую СВ :
Проверим
Воспользуемся формулой для вычисления математического ожидания:
■
IV. Средняя величина – – это абстрактная характеристика распределения СВ. Значения СВ всегда колеблются около своего среднего значения. Это явление называют рассеиванием СВ. Но не даёт представления о том, как отдельные значения СВ сосредоточены вокруг неё. Рассеивание СВ определяет непредсказуемость принимаемых значений СВ, показателем которой является степень отклонения СВ от её математического ожидания.
|
|
Центрированной СВ , соответствующей СВ X, называется отклонение величины от своего математического ожидания: .
Закон распределения центрированной СВ совпадает с законом распределения самой СВ. При этом кривая распределения становится "симметричной" относительно оси OY.
Дисперсией СВ X (обозначение: ),называется математическое ожидание квадрата центрированной СВ : :
в случае дискретной СВ | в случае непрерывной СВ |
Дисперсия является мерилом надёжности математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем лучше математическое ожидание отражает собой всё распределение СВ.
Воспользуемся свойствами математического ожидания для дисперсии:
Получили формулу связи дисперсии и математического ожидания СВ:
Пример.
Рассмотрим две СВ, заданные своим рядом распределения:
0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | но!!! |