Числовые характеристики СВ

Числовые характеристики СВ– это числа, которые характеризуют особенности распределения СВ.

I. Модой СВ X (обозн: ) называется такое значение СВ:

в случае дискретной СВ	в случае непрерывной СВ
которому соответствует максимальное значение вероятности.	которому соответствует максимум дифференциальной функции.
· Если график распределения СВ X обладает единственным локальным максимумом, то распределение называется модальным.
· Если график распределения имеет несколько локальных максимумов, то распределение называется полимодальным.
· Если график распределения не имеет локальных максимумов, но имеет локальный минимум, то распределение называется антимодальным

II. Медианой СВ X называется значение СВ (обозн: ), для которого справедливо:

в случае дискретной СВ	в случае непрерывной СВ
	Графически – это точка , для которой прямая делит пополам площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения.

III. Математическим ожиданием СВ называется ориентировочное (среднее) число, около которого группируются все возможные значения СВ. (Обозн: )

1) Если принять за "вес" значения дискретной СВ, то центр масс будет определяться формулой: ,

учитывая что , получим:

2) В случае с непрерывной СВ точечная вероятность . Поэтому работают с интервальной вероятностью: , которая равна площади частичной криволинейной трапеции графика дифференциальной функции СВ.

При большом разбиении интервала значений СВ частичная криволинейная трапеция принимает форму прямоугольника, следовательно .

Тогда . Переходя к пределу, получим:

Замечания:

1. Если над СВ выполняют функциональные операции и получают новую СВ , то , где – вероятности значений .

2. Математическое ожидание существует не для всех СВ.

¨ Если распределение является: – симметричным;

– модальным;

и для него существует математическое ожидание,

то оно () совпадает с медианой и модой – центром симметрии распределения.

Свойства:

Следствие:

Доказательства свойств для дискретной СВ:

1. . Т.е. с – единственно возможноезначение СВ, т.е. оно достоверно.

Тогда . В результате ■

2. . ■

3. Рассмотрим две СВ, заданные рядом распределения:

Составим новую СВ :

Проверим

Найдём математическое ожидание:

■

4. Рассмотрим две независимые СВ, заданные рядом распределения:

Составим новую СВ :

Проверим

Воспользуемся формулой для вычисления математического ожидания:

■

IV. Средняя величина – – это абстрактная характеристика распределения СВ. Значения СВ всегда колеблются около своего среднего значения. Это явление называют рассеиванием СВ. Но не даёт представления о том, как отдельные значения СВ сосредоточены вокруг неё. Рассеивание СВ определяет непредсказуемость принимаемых значений СВ, показателем которой является степень отклонения СВ от её математического ожидания.

Центрированной СВ , соответствующей СВ X, называется отклонение величины от своего математического ожидания: .

Закон распределения центрированной СВ совпадает с законом распределения самой СВ. При этом кривая распределения становится "симметричной" относительно оси OY.

Дисперсией СВ X (обозначение: ),называется математическое ожидание квадрата центрированной СВ : :

в случае дискретной СВ	в случае непрерывной СВ

Дисперсия является мерилом надёжности математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем лучше математическое ожидание отражает собой всё распределение СВ.

Воспользуемся свойствами математического ожидания для дисперсии:

Получили формулу связи дисперсии и математического ожидания СВ:

Пример.

Рассмотрим две СВ, заданные своим рядом распределения:

	0,5	0,5		0,5	0,5	но!!!