Гиперболические функции

Гиперболические функции определяются равенствами: - гиперболический синус (),

- гиперболический косинус (),

- гиперболический тангенс,

- гиперболический котангенс.

Свойства гиперболических функций вытекают из свойств функций и ; все формулы, справедливые при действительных значениях x, остаются справедливыми и для комплексных значений z.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция определяется как функция обратная к показательной.

Определение. Если , где , то называется логарифмом числа

z и обозначается

Перепишем равенство в виде , тогда получим, что и .

Следовательно, логарифмическая функция задается равенством:

,

Логарифмическая функция многозначна; ее ветвь, соответствующую главному значению аргумента , называют главным значением логарифмической функции и обозначают . Таким образом,

Свойства логарифмической функции:

·

·

·

· .

Обратные тригонометрические функции

Определение. Если , то называется арксинусом числа z и обозначается

Разрешая уравнение относительно , получим:

.

Аналогично можно получить выражения для других обратных тригонометрических функций; все они выражаются через логарифмическую функцию:

, , .

Пример. Найти

Решение. , но , и поэтому .

Пример. Найти: а) , б)

Решение. а) Поскольку , а главное значение аргумента у числа -1 равно , то получим: = .

б) по формуле получаем

Пример. Найти

Решение. По определению функции получаем:

Пример. Записать в алгебраической форме

Решение. , тогда имеем