Статистические показатели возможностей процесса. Индекс пригодности и индекс воспроизводимости

Для оценки возможности процесса используют ряд показателей. При этом процесс должен быть сначала доведен до статистически стабильного состояния, кроме того, индивидуальные значения процесса должны иметь распределение близкое к нормальному.

Показатели возможностей характеризуют потенциальные и фактические способности процесса удовлетворять установленным техническим нормам для значений выходного показателя качества, оцениваемого по количественному признаку.

Показатели возможностей используют для следующих целей:

· предконтрактный анализ потенциальных возможностей поставщика удовлетворять требования потребителя;

· установление в контрактах (договорах на поставку) требований к процессам;

· планирование качества разрабатываемой продукции;

· приемка процессов на основе опытных партий;

· аттестация процессов;

· планирование приемочного контроля;

· планирование непрерывного улучшения процессов;

· аудиты второй стороной и внутренние аудиты процессов.

Достоверность используемых показателей возможностей процесса зависит от изменчивости результатов измерений, обусловленных используемой методикой выполнения измерений. При этом суммарная погрешность измерений Σ∆ должна составлять (Y₃…Y₅)Т (допуска) контролируемого параметра.

Собственная изменчивость процесса – это часть изменчивости процесса, вызываемая только обычными причинами. Эта изменчивость оценивается по контрольным листкам с помощью отношений или , где и – стандартные коэффициенты, зависящие от объема выборки.

Полная изменчивость процесса – это изменчивость, вызываемая как обычными, так и особыми причинами. Эта изменчивость оценивается с помощью выборочного стандартного отклонения, использующего все индивидуальные значения:

Воспроизводимость процесса – это интервал в k σ присущей процессу изменчивости только для статистически стабильных процессов, где σ обычно оценивается как (), а k зависит от закона распределения показателя качества процесса и достоверной вероятности.

Индекс воспроизводимости определяется как отношение допуска к оценке собственной изменчивости процесса без учёта его центровки: , где — верхняя граница поля допуска; — нижняя граница поля допуска, , где — среднее арифметическое нескольких выборок; — коэффициент, зависящий от объёма выборки и закона распределения показателя качества процесса., — коэффициент, зависящий от закона распределения показателя качества процесса и достоверной вероятности.

Обычно при расчете статистических показателей возможностей процесса принимают допущение, что показатель качества процесса распределен по нормальному закону распределения, и для вероятности Р = 99,37 % коэффициент k принимают равным 6.

Пригодность процесса – это интервал в k σ полной изменчивости, где σ обычно оценивается при помощи выборочного стандартного отклонения.

Индекс пригодности определяется как допуск, делённый на оценку полной изменчивости процесса без учёта его центровки:

Верхний индекс воспроизводимости определяется как отклонение среднего уровня процесса от верхнего предела поля допуска, делённое на действительный верхний разброс процесса:

Нижний индекс воспроизводимости определяется как отклонение среднего уровня процесса от нижнего предела поля допуска, делённое на действительный нижний разброс процесса:

Индекс воспроизводимости учитывает центровку процесса и определяется как минимальное из и . Он связывает разность между средним процесса и ближайшим пределом поля допуска с половиной присущей процессу изменчивости.

По известным значениям С_р и С_pk можно определить интервал, в котором находится ожидаемый уровень несоответствий. По значению С_pk определяют максимально возможное значение ожидаемого уровня несоответствий, по значению С_р – минимально возможное. Вследствие использования выборочных оценок для получения С_р и С_pk и ограниченности объемов наблюдения полученные значения ожидаемых уровней несоответствий могут заметно отличаться от фактически наблюдаемых уровней несоответствий действующих процессов, поэтому значение ожидаемых уровней несоответствий используют только для предварительных оценок качества процессов и мониторинга улучшений.

Индекс пригодности учитывает центровку процесса и определяется как минимальное из и . Он связывает разность между средним процесса и ближайшим пределом поля допуска с половиной полной изменчивости процесса. Данный показатель, как и индекс пригодности , должен использоваться только для сравнения или вместе с и , а также для измерения и выбора приоритетов усовершенствования во времени.

Индексы воспроизводимости и пригодности применяются при измерении результатов непрерывного усовершенствования с использованием временных трендов и при выборе приоритетного направления, в котором процессы должны совершенствоваться.

Для характеристики процесса также используют отношение воспроизводимости и отношение пригодности .

Ни один приведённый отдельный индекс не могут дать исчерпывающие описание процесса. Все возможные индексы рекомендуется рассматривать совместно. Все характеристики воспроизводимости должны относится к характеристике одного процесса. Никогда не следует объединять или усреднять результаты по воспроизводимости для нескольких процессов в один индекс.

Управляемым считается статистически стабильный процесс, индекс пригодности которого превышает единицу. В этом случае поле рассеяния показателя качества, отражающее изменчивость процесса меньше допуска.

Рисунок - Изменчивость неуправляемого и управляемого процессов при настройке процесса на оптимальное значение.

24. Статистические показатели точности и стабильности технологических процессов.

25. Статистический приемочный контроль. Риск поставщика и риск потребителя.

Основной задачей статистических методов приемочного контроля является обеспечение достоверной оценки качества продукции, предъявляемой на контроль, и однозначности признания результатов оценки качества продукции поставщиком и потребителем.

В рамках системы менеджмента качества ответственным за качество продукции должен быть изготовитель. При контроле ответственность за качество может перейти от изготовителя к контролеру. Это происходит в тех случаях, когда контролер необходим для сортировки несоответствующих изделий, и все, что проис­ходит в производстве, будет выявляться через контроль. Такой подход приводит к излишней работе, затратам и ухудшению качества для потребителя и изготовителя. Контролер не располагает средствами для создания качественной продукции, если это не было сделано изготовителем.

Преимущество такого контроля заключается в том, что при нем ответственность за качество продукции ложится непосредственно на изготовителя, и контролер не выполняет роль сортировщика продукции. Изготовитель должен подтвердить надлежащее качество изделий, иначе потребуются большие усилия и затраты, связанные с отклонением партий. Выборочный контроль может и должен приводить к снижению объема работы по контролю и затрат, а также к хорошему качеству продукции для покупателя.

Так как при статистическом приемочном контроле решение принять или отклонить партию продукции реализуется по результатам контроля выборки, то всегда имеется некоторая вероятность выбрать ошибочное решение. При этом имеется риск как поставщика, так и потребителя.

Под риском поставщика понимается вероятность отклонения партии продукции, обладающей приемлемым уровнем качества (нормативный документ ГОСТ Р 50779.11-2001).

Риск потребителя — это вероятность приемки партии продукции, обладающей предельным уровнем качества (ГОСТ Р 50779.11-2001 трактует это понятие как при данном плане выборочного контроля вероятность приемки партии или процесса, когда их уровень качества имеет значение, признаваемое по плану неудовлетворительным, например, значение предельного уровня качества).

Приемочный контроль основан на результатах контроля единицы продукции, под которой понимается изделие, определенное количество материала, услуга, действие или процесс, организация или человек либо некоторая их комбинация.

Статистические методы приемочного контроля могут осуществляться по количественному, качественному и альтернативному признакам.

Статистический приемочный контроль по количественному признаку — контроль качества продукции, в ходе которого определяют значения контролируемого параметра, а последующее решение о контролируемой совокупности или процессе принимают в зависимости от сравнения их с контрольным нормативом (нормативный документ СТБ ГОСТ Р 50779.11-2001).

Статистический приемочный контроль по качественному признаку — контроль качества продукции, в ходе которого каждую проверенную единицу относят к определенной группе, а последующее решение о контролируемой совокупности или процессе принимают в зависимости от соотношения количества ее единиц, оказавшихся в различных группах.

Статистический приемочный контроль по альтернативному признаку — контроль качества продукции по качественному признаку, в ходе которого каждую проверенную единицу продукции относят к категории соответствующих или несоответствующих, а последующее решение о контролируемой совокупности или процессе принимают в зависимости от результатов сравнения числа обнаруженных в выборке несоответствующих единиц продукции или числа несоответствий, приходящихся на определенное число единиц продукции, с контрольным нормативом (нормативный документ ГОСТ Р 50779.11-2001).

26. Статистическое регулирование технологических процессов. Средние длины налаженного и разлаженного процессов. Риски первого и второго рода.

27. Сущность статистических методов управления качеством. Сплошной и выборочный контроль.

28. Уровни планов контроля и корректировка планов контроля.

29. Характеристики распределения случайных величин. Меры положения.

Для изучения распределений случайных величин в математической статистике пользуются рядом числовых характеристик, определяющих положение центра группирования случайной величины и ее рассеивание около этого центра.

Числовые характеристики положения центра группирования носят общее название мер положения, а числовые характеристики рассеивания — мер рассеивания.

В качестве статистических оценок мер положения используются при теоретическом распределении: математическое ожидание E(Х); при эмпирическом распределении: среднее арифметическое значение , среднее арифметическое взвешенное , среднее гармоническое , среднее геометрическое , среднее геометрическое взвешенное , среднее квадратическое , среднее квадратическое взвешенное , середина размаха, медиана и мода .

Математическим ожиданием E(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных ее значений на соответствующие вероятности:

,

где n — число возможных значений случайной величины Х.

Математическое ожидание E(Х) непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность вероятности f(Х), рассчитывается как

,

если интеграл сходится абсолютно.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется значительно сложнее с использованием интегрального исчисления.

Cреднее арифметическое значение , среднее гармоническое , среднее геометрическое , и среднее квадратическое можно рассчитать по формуле среднего степенного

,

где z – показатель степени, позволяющий определить вид среднего;

n — общее число значений X_i.

Cреднее арифметическое взвешенное , среднее геометрическое взвешенное , среднее квадратическое взвешенное можно рассчитать по формуле среднего взвешенного

,

где z – показатель степени, позволяющий определить вид среднего;

f_i — частота значений X_i;

n — общее число значений X_i.

Средним арифметическим значением случайной величины называется отношение суммы всех значений случайной величины, полученных в результате конечного числа испытаний, к числу испытаний (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 среднее арифметическое – сумма значений, деленная на их число):

Среднее арифметическое получают путем подстановки в формулу среднего степенного показателя степени z, равного 1.

Вышеприведенные формулы справедливы при контроле показателей по количественному признаку.

При контроле показателя по альтернативному признаку оцениваемый показатель может принимать только два взаимоисключающих значения, которым сопоставляются два количественных значения: 1 и 0.Частостью варианта 1 (как правило, обозначается p) является доля единиц, обладающих данным признаком в общей статистической совокупности. Разность 1 – p = q является частостью варианта 0. Таким образом, среднее арифметическое при контроле по альтернативному признаку вычисляется как:

.

Среднимарифметическим взвешенным значением случайной величины называется сумма произведений значений случайной величины на их частости (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 взвешенноесреднее арифметическое – сумма произведений каждого значения на его вес, деленная на сумму весов, где веса – неотрицательные коэффициенты, связанные с каждым значением):

,

где f_i — частота значений X_i;

n — общее число значений X_i.

m — число дискретных значений X_i.

Для непрерывных случайных величин в качестве Х_i принимают середину равных интервалов, на которые разбивается ряд значений Х.

Среднее арифметическое взвешенное получают путем подстановки в формулу среднего взвешенного показателя степени z, равного 1.

Довольно часто под средним арифметическим подразумевают среднее арифметическое взвешенное значение.

Среднее гармоническое рассчитывают как

Среднее гармоническое получают путем подстановки в формулу среднего степенного показателя степени z, равного -1.

Средним геометрическим называют корень n-ой степени из произведения значений случайной величины:

Среднее геометрическое получают путем подстановки в формулу среднего степенного показателя степени z, равного 0.

Среднее геометрическоевзвешенное рассчитывают как

Среднее геометрическое используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете среднего геометрического индивидуальные значения случайной величины представляют собой относительные показатели динамики, полученные как отношения каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

Среднее геометрическое взвешенное получают путем подстановки в формулу среднего взвешенного показателя степени z, равного 0.

Средним квадратическим называют корень n-ой степени из произведения значений случайной величины:

Среднее квадратическое получают путем подстановки в формулу среднего степенного показателя степени z, равного 2.

Среднее квадратическое взвешенное рассчитывают как

Среднее квадратическое и среднее квадратическое взвешенное применяются при изучении вариации наблюдаемой величины.

Среднее квадратическое взвешенное получают путем подстановки в формулу среднего взвешенного показателя степени z, равного 2.

Согласно правилу мажорантности средних А.Я.Боярского для единой статистической совокупности среднее арифметическое , среднее гармоническое , среднее геометрическое , и среднее квадратическое связаны между собой следующей зависимостью: < < <

Таким образом, численные значения средних возрастают с ростом показателя степени z.

Серединой размаха называют полусумму наибольшего и наименьшего значений (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 середина размаха – это среднее арифметическое между наибольшим и наименьшим наблюденными значениями количественного признака).

Если n значений измеряемой величины расположить в порядке их возрастания, то значение, находящееся в самом центре, называют медианой (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 медиана – это квантиль порядка р = 0,5). Если n является нечетным числом, медианой будет значение, которое находится на 1/2(n +1) месте.

Модой называется наиболее часто встречающееся значение в статистической совокупности (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 мода – это значение случайной величины, при котором функция распределения вероятностей масс или плотность распределения вероятностей имеет максимум).

Для эмпирических распределений дискретной случайной величины мода находится непосредственно по классическому определению. Для эмпирических распределений непрерывной случайной величины сначала определяют модальный интервал h_k = x_k – x_k-1, которому соответствует максимальная частота f_k. Значение моды внутри модального интервала определяют по интерполяционной формуле Р.М.Орженцкого:

,

где x_k-1 – нижняя граница модального интервала;

h_k – длина модального интервала;

- частота интервала, соответственно предшествующего модальному, модальному и следующему за модальным.

Математическое ожидание обычно используется в качестве меры положения для теоретических распределений, в которых возможные значения Х оцениваются при помощи вероятностей. В эмпирических распределениях, где наблюдаемые значения Х оцениваются при помощи частот или частостей, в качестве меры положения используется среднее арифметическое, среднее арифметическое взвешенное, среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее геометрическое взвешенное, среднее квадратическое, среднее квадратическое взвешенное, середина размаха, медиана и мода.

30. Характеристики распределения случайных величин. Меры рассеивания.

Для изучения распределений случайных величин в математической статистике пользуются рядом числовых характеристик, определяющих положение центра группирования случайной величины и ее рассеивание около этого центра.

Числовые характеристики положения центра группирования носят общее название мер положения, а числовые характеристики рассеивания — мер рассеивания

В качестве статистических оценок мер рассеивания используются при теоретическом распределении: дисперсия, коэффициент вариации, квантиль; при эмпирическом распределении: стандартное отклонение и размах.

Дисперсией дискретной случайной величины называется сумма произведений квадратов отклонений случайной величины Х от ее математического ожидания на соответствующие вероятности

Дисперсия непрерывной случайной величины, имеющей плотность вероятности p(Х), рассчитывается как

, если этот интеграл сходится.

Эта величина применяется в качестве меры рассеивания теоретического распределения, а для эмпирического распределения используется аналогичная величина σ², которая определяется как сумма произведений квадратов отклонений значений случайной величины Х_i от ее среднего арифметического значения Х на соответствующее частости f_i/(n- 1 ). Тогда σ² при различных случаях определяется из следующих зависимостей

Вышеприведенные формулы справедливы при контроле показателей по количественному признаку.

При контроле показателя по альтернативному признаку оцениваемый показатель может принимать только два взаимоисключающих значения, которым сопоставляются два количественных значения: 1 и 0.Частостью варианта 1 (как правило, обозначается p) является доля единиц, обладающих данным признаком в общей статистической совокупности. Разность 1 – p = q является частостью варианта 0. Таким образом, дисперсия эмпирического распределения при контроле по альтернативному признаку вычисляется как:

.

Таким образом, дисперсия эмпирического распределения случайной величины, контролируемой по альтернативному признаку, равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих этим признаком.

Дисперсия эмпирического распределения случайной величины, контролируемой по альтернативному признаку, принимает наибольшее значение pq = 0,25 при условии равнозначности p и q, то есть когда p = q = 0,5.

На практике используют не саму дисперсию, а квадратный корень из нее, называемый стандартнымотклонением (средним квадратическим отклонением).

Размерность σ совпадает с размерностью самой случайной величины Х.

Коэффициентом вариации называют отношение стандартного отклонения случайной величины к ее математическому ожиданию

Квантилем z случайной величины Х называется такое значение случайной величины, которому соответствует значение интегральной функции распределения, равное z. (согласно СТБ ГОСТ Р 50779.10 квантиль – это значение случайной величины Х_р, для которого функция распреде­ления принимает значение р (0 < р < 1) или ее значение изменяется скачком от меньшего р до превышающего р).

Размахом называется разность между наибольшим и наименьшим наблюдаемыми значениями случайной величины.

R = X_max - X_min

Размахом пользуются как мерой рассеивания в эмпирических распределениях при малом числе наблюдений (когда n ≤ 10).

Дл более подробного описания особенностей распределения П.Л.Чебышевым были предложены начальный и центральный моменты n-го порядка.

Начальный момент n-го порядка определяется как

Центральный момент n-го порядка определяется как

.