Вычисление длины вектора и угла между векторами

Из свойства 1 , в координатах по формуле (8.3):

(8.4)

Пусть длины векторов: , , Из определения и формул (8.3)-(8.4) следует, что угол между векторами вычисляется по формуле:

= . (8.5)

Пример 1. Вычислим косинус угла между ребрами АВ и СD тетраэдра DАВС, если А (1;2;1), В (4;1;2), С (1;5;3), D (2;3;1).

. Найдем координаты векторов и :
(4–1;1–2;2–1), (2–1;3–5;1–3), тогда (3;–1;1), (1;–2;–2).

Подставим в формулу и вычислим:

, »0,3015 (т.е. j»72^о).

Определение 26.

Ортом вектора называется вектор , который имеет единичную длину и то же направление, что и вектор .

(8.6)

Процесс получения орта вектора называется нормированием.

Если координаты , то координаты соответствующего вектору орта, т.е. нормированного вектора,

. (8.7)

Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными вектором с осями координат Ox, Oy, Oz.

Определение 27.

Косинусы углов α, β, γ, образованных векторов с осями координат Ox, Oy, Oz, называются направляющими косинусами вектора и вычисляются по формулам:

, , . (8.8)

Тогда координаты нормированного вектора по (8.8) в V ₃ будут:

.

Направляющие косинусы вектора связаны соотношением .

Для V ₂: с соотношением: .