2015-07-21
5657
Рассмотрим некоторую (конкретную) точку 
, принадлежащую области определения функции 
, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение 
и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в 1-ом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение 
:
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.
Итак, 
.
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку 
интервала 
, то, осуществив замену 
, получаем:
Ответ: по определению производной:
Готово.
В который раз порадуемся логарифмам:
Пример 2
Найти производную функции 
, пользуясь определением производной
Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .
Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости 
закомментирую пошагово:
(1) Используем свойство логарифма 
.
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом 
, при этом в качестве бесконечно малой величины выступает 
.
Ответ: по определению производной: 
Или сокращённо: 
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Пример 3
Найти производную 
по определению
В данном случае составленное приращение 
сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Пример 4
Найти производную 
по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу 
. Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-ом томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой 
.
Переходим к реально встречающимся заданиям:
Пример 5
Найти производную функции 
, используя определение производной
Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую 
, и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: 
, то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число 
и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: 
. Записываем разность 
, при этом 
необходимо полностью взять в скобки.
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы 
, раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге: 
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим 
.
Ответ: по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Пример 6
Найти производную функции 
по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Вернёмся к стилю №2:
Пример 7
Пользуясь определением, найти производную функции
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:
Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу 
.
(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое 
.
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел 
. Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ: 
по определению
Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пример 8
Пользуясь определением, найти производную функции
Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
Разберём более редкую версию задачи:
Пример 9
Найти производную функции 
в точке 
, пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число
Вычислим ответ стандартным способом:
Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле 
вместо рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов 
и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу:
Ответ: 
по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить 
на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10
Используя определение, найти производную функции 
в точке 
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
Пример 11
Будет ли дифференцируема функция 
в точке 
?
Решение: очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема? Алгоритм решения данной задачи таков:
1) Находим левостороннюю производную в данной точке: 
.
2) Находим правостороннюю производную в данной точке: 
.
3) Если односторонние производные совпадают: 
, то в точке существует общая производная, то есть функция 
дифференцируема в данной точке и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной). Если же получены два разных значения: 
, то функция не дифференцируема в точке .
Всё очень просто!
1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: 
, а слева от точки расположена парабола 
, поэтому приращение функции равно:
И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:
2) Справа от точки находится график прямой 
и приращение аргумента положительно: 
. Таким образом, приращение функции:
Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:
3) Односторонние производные различны: 
Ответ: функция не дифференцируема в точке .
Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля 
в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс 
обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
На этом забавном гибриде и закончим повествование =)
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Найдём производную в точке :
Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и 
Ответ: по определению производной
Пример 4: Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Используем замечательный предел
Ответ: 
по определению
Пример 6: Решение: рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Вычислим производную:
Таким образом: 
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и 
Ответ: по определению.
Пример 8: Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции:
Найдём производную:
Используем тригонометрическую формулу 
и первый замечательный предел:
Ответ: 
по определению
Пример 10: Решение: Зададим приращение в точке . Тогда приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Ответ: 
по определению производной в точке
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Переход на главную страницу)
Как можно отблагодарить автора?
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала. Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.
Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)
Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной, а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке. Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.
Урок состоит из двух частей:
– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.
– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.
Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функции нескольких переменных. Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.
Рассматриваемое задание тесно связано с понятием дифференциала, и его геометрический смысл можно узнать на уроке Что такое производная? А сейчас ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.
Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной
В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через 
или через 
. Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:
Пример 1
Вычислить приближенно 
, заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:
Начинаем разбираться, здесь всё просто!
На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: 
. Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение 
.
Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.
В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: 
. Действительно: 
.
Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае 
), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае 
). В результате и будет выполнен нужный подбор: .
Если , то приращение аргумента: 
.
Итак, число 67 представлено в виде суммы 
Далее работаем с правой частью формулы .
Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:
Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.
Из формулы следует, что нужно взять первую производную:
И найти её значение в точке :
Таким образом:
Всё готово! Согласно формуле :
Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.
Ответ: 
Пример 2
Вычислить приближенно 
, заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.
У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.
Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)
Пример 3
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке 
. Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение 
с помощью дифференциала»
Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: 
. Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .
Значение необходимо представить в виде 
. Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается 
. И, следовательно: 
.
Вычислим значение функции в точке :
Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.
Находим первую производную:
И её значение в точке :
Таким образом, дифференциал в точке:
В результате, по формуле :
Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.
