Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал ?y ≈ dy.

Как следует из рис.7, погрешность от такой замены при? х →0 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с? х.

Подставляя в это соотношение формулу для dy и выражение для ?у (?у=f (х+?х) – f (x)), получим

f (х+?х) = f (x) + ?у ≈ f (x) + f' (х)·? х.

Эта формула называется формулой линеаризации и является основной в приближенных вычислениях.

Пример 1. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию в окрестности точки x =1.

. Принимая ?х = 0,07, получим из формулы линеаризации

Пример 2. Найти приближенно .

Решение. Используем формулу линеаризации

.

Пусть , тогда . При малых ?х справедлива формула

Для (х + Δ х) запишем . В радианной мере радиан. Тогда .

Используя формулу , имеем:

.

Пример 3. Вывести приближенную формулу линеаризации (для | ?х |, малых по сравнению с x): , и с её помощью найти приближенные значения для .

Решение. Пусть , тогда , приращение .

Следовательно, . Отсюда,

Полагая ; , и применяя формулу линеаризации, имеем:

.

.

Пример 4. Вычислить приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию , полагая , . Применяя формулу , получаем

Пример 5. Найти приращение и дифференциал функции при и .

Решение. Запишем приращение функции :

Главная часть приращения, линейная относительно , является дифференциалом или .

Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен м.

Решение. Воспользуемся формулой , полагая , . Имеем

Приближенное значение площади круга составляет

.