2015-10-22
5379
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю 
Правила:
1. 
2. 
3. 
4. Если y=f(u) и u=q(x) дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(q(x)) существует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменой x.
.
Следствие: Постоянный множитель выносится за знак производной
Формулы дифференцирования для сложной функции, где u(x) –внутренняя функция
Производной второго порядка или второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной функции 
. Она обозначается
. Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и других порядков
.
Примеры: 1) Найти производную функции 
Производная суммы равна сумме производных  Воспользуемся формулами из таблицы производных - формулы производных степенной, тригонометрической и логарифмической функций:  ,  . | |
| Ответ. | |
2) Найти производную функции 
. По правилу дифференцирования произведения получаем: 
, теперь воспользуемся формулами для производных степенной и тригонометрической функций: 
, 
. Ответ: .
3) Найти производную функции 
По свойству дифференцирования частного получаем:  Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим:    Для вычисления производной функции использовались правила дифференцирования и таблица производных функций. | |
| Ответ. | |
4) Правила дифференцирования сложной функции 
применяются следующим образом:
Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х0=а
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f / (x0) · (x − x0) + f (x0)
Здесь f / (x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
Пример:
Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Уравнение касательной: y = f / (x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f / (x0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f / (x) = (x3) / = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f / (x0) = f / (2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.
Физический смысл производной:
Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени t0, нужно найти значение производной функции S(x) в точке х=t0: S/(t0)=V(t); а чтобы вычислить значение ускорения в момент времени t0, нужно найти значение производной функции V(x) в точке х=t0: V/(t0)=a(t0).
Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=6t2-48t+17, где s(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c.
Решение. Найдем производную функции s(t)=6t2-48t+17: s/ (t) = 12t-48. Найдем значение производной в точке t=9: s/ (9)=12*9-48, v(t)= s/ (9)=60. Ответ: 60 м/с.
Решение тригонометрических уравнений:
Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида
, 
, 
, 
.
Рассмотрим, при каких значениях 
тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.
Уравнение 
.
Так как множество значений функции 
- отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда
.
Далее, из-за периодичности функции , каждому значению соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:
или обобщенной формулой
.
Пример1. Решить уравнение 
.
Решение. 
.
Ответ: .
Уравнение 
.
Данное уравнение имеет тогда и только тогда, когда .
Множество решений записывается в виде
.
Заметим, что 
.
Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:
Пример2. Решить уравнение 
.
Решение. 
.
Ответ: .
Уравнение 
.
Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой
.
Заметим, что 
.
Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:
Пример3. Решить уравнение 
.
Решение. 
.
Ответ: .
Уравнение 
.
Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой
.
Пример4. Решить уравнение 
.
Решение. 
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. Это уравнение является квадратным относительно 
. Поэтому сделаем замену 
. В результате получим уравнение 
. Его корни: 
, то есть получаем уравнение 
или 
. Первое уравнение дает 
. Второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. Так как 
, то уравнение можно представить в виде 
; 
. Сделаем замену 
. Получим квадратное уравнение 
, решая которое, имеем: 
,то есть 
. Таким образом, получим два простейших уравнения или 
. Решая их, имеем 
или 
.
Ответ: 
Пример 7. Решить уравнение:
.
Решение. Это уравнение является однородным относительно 
и . поэтому, разделив его на 
, получим 
. Введем новую переменную 
и решим квадратное уравнение 
.
Его корни 
. получили два простейших тригонометрических уравнения 
. Решая их, найдем: 
или 
.
Ответ: 
.
Пример 8. Решить уравнение:
.
Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем
то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения на , получим 
. Решая это уравнение, квадратное относительно 
, найдем, что 
либо 
. Таким образом, или 
.
Ответ: 
.
Для вычисления значений тригонометрических функций можно использовать следующую таблицу:
7.Вычисление неопределенных интегралов:
1. Таблица неопределённых интегралов.
 . |  . | ||
 . |  . | ||
 ( ). |  . | ||
 . |  . | ||
 ;  . |  . | ||
 . |  | ||
 . |  . | ||
 . |  . | ||
 . |  . | ||
 . |  ;  . |
В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a >0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части.
