Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли), матричный метод решения системы

Теорема Кронекера-Капелли:

Критерий совместности системы линейных уравнений для совместности системы уравнений:

необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы получающейся из матрицы добавлением столбца, свободных членов

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙ X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля | A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A: . Поскольку A^-1A = E и E ∙ X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.