XII. Теория вероятностей и математическая статистика

12.1. Имеется 10 одинаковых урн, в девяти из которых находится по два белых и два черных шара, а в одной пять белых и один черный. Из урны, взятой наудачу, был извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?

12.2. Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии не сработает первое устройство – 0,1; второе – 0,3; третье – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) хотя бы одно устройство; б) только два устройства.

12.3. В ящике лежат 6 новых и 4 старых теннисных мячей. Из ящика для первой игры наудачу вынимается один мяч, а после игры возвращается в ящик. После этого вынимается один мяч для следующей игры. Определить вероятность того, что этот мяч окажется новым.

12.4. Студент озабочен предстоящими экзаменами по физике и математике. По его мнению, вероятность того, что он сдаст хотя бы физику, равна 0,4, вероятность того, что он сдаст хотя бы один предмет 0,6, а вероятность того, что он сдаст оба предмета равна, 0,1. Какова предполагаемая студентом вероятность того, что он сдаст хотя бы экзамен по математике?

12.5. В одной урне I белый и 4 черных шара, а в другой – 2 белых и 3 черных, в третьей – 3 белых и 2 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных шара.

12.6. Из колоды (36 карт) берутся три карты. Какова вероятность того, что среди взятых карт будет хотя бы два туза?

12.7. На 2-х автоматах производятся одинаковые детали. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Первый автомат производит 80% деталей первого сорта, а второй 90% первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет первого сорта.

12.8. На инструментальный склад поступили восемь новых инструментов. Каждой из трех смен выдается случайным образом один инструмент, который после окончания работы возвращается обратно на склад. Определить вероятность того, что третья смена получит новый инструмент.

12.9. Три стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6 и для третьего – 0,7. Какова вероятность того, что в мишень попало не менее двух пуль.

12.10. Числа 1,2,3,4,5 написаны на 5 карточках. Наугад, последовательно, выбирают 3 карточки и располагают слева направо. Найти вероятность того, что оставленное при этом трехзначное число будет четным.

12.11. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение минуты позвонят 3 абонента или 4 абонента.

12.12. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не более 3 бракованных книг?

12.13. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит: а) 75 раз; б) не более 85 раз и не менее 75 раз?

12.14. Вероятность того, что каждый из 8 спортсменов выполнит норму мастера спорта 0,6. Какова вероятность того, что норму мастера спорта выполнят не более 2-х человек. Найти наивероятнейшее число спортсменов, получивших мастера спорта и обеспечить это число вероятностью.

12.15. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах, равна 0,992. Найти вероятность 4-х попаданий при пяти выстрелах.

12.16. К электросети подключено 36 приборов, каждый мощностью 5 киловатт и потребляет энергию с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что потребляемая в данный момент мощность:

а) составляет ровно 50 киловатт;

б) превзойдет 50 киловатт.

12.17. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) ровно 4 карпа; б) не менее 4 карпов.

12.18. Вероятность того, что саженец елки приживется и будет успешно расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что нормально вырастет не менее 250 деревьев? Ровно 300 саженцев?

12.19. Для повышения надежности контроля за ходом технологического процесса установлены 5 однотипных датчиков. Каждый из этих датчиков независимо от остальных может выйти из строя с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что количество датчиков не вышедших из строя, больше одного.

12.20. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости равна 0,02. Сверла упаковываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что в данной коробке число сверл повышенной хрупкости окажется не более двух?

12.21. – 12.30. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией . Требуется: а) найти дифференциальную функцию ; б) найти математическое ожидание и дисперсию ; в) построить графики , .

12.21. .

12.22. .

12.23. .

12.24. .

12.25. .

12.26. .

12.27. .

12.28. .

12.29. .

12.30. .

12.31. – 12.40. Дискретная случайная величина задана законом распределения, где - номер варианта:

Найти: 1) вероятность ; 2) функцию распределения ; 3) математическое ожидание и дисперсию .

12.41. Средний диаметр стволов деревьев на некоторой делянке равен 25 см, среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Считая, что диаметр ствола – случайная величина, распределенная нормально, определить размер, который не превзойдет средний диаметр ствола с вероятностью 0,96.

12.42. Известно, что некоторый размер детали имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 0,5 мм и математическим ожиданием 240 мм. Годными считаются детали, размер которых заключен между 239,5 мм и 240,5 мм. Определить вероятность изготовления годной детали.

12.43. Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 1,6 мм. Определить, сколько процентов стандартных валиков изготавливает автомат.

12.44. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 10 см, и дисперсией – 49 см². Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более, чем на 2 см.

12.45. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см², а математическое ожидание 2,5 см. в каких границах можно практически гарантировать диаметр деталей (за достоверное принимается событие, вероятность которого 0,9973)?

12.46. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических (одного знака) погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превышающей по абсолютной величине 10г.

12.47. Изделие считается стандартным, если отклонение некоторого его размера от номинала находится в интервале . Случайные отклонения размера от номинала распределены нормально со среднеквадратическим отклонением 0,7 мм. Найти число стандартных деталей в партии из 100 штук.

12.48. Детали, выпускаемые цехом, по размерам распределяются по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 5 см, среднеквадратическое отклонение 0,9 см. Найти, в каких границах следует ожидать размер детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,95.

12.49. Случайная величина распределена по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 5 мм и математическим ожиданием 0 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания.

12.50. По статистическим данным 80% улова рыбы отклонялось от промыслового (стандартного) размера менее, чем на 3 см. Какой процент выловленной рыбы отклоняется от промыслового размера не более, чем на 5 см, если предположить, что размер рыбы имеет нормальный закон распределения.

12.51. – 12.60. Заданы среднеквадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины , выборочная средняя , объем выборки . Требуется найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания (с надежностью ).