2020-05-21
3925
Для дискретных случайных величин применяют такие числовые характеристики как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
– Математическое ожидание.
Определение. Математическое ожидание дискретной случайной величины 
представляет собой сумму произведений всех возможных значений этой величины 
на соответствующие им вероятности 
:
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины 
равно самой этой величине: 
;
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: 
;
3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин 
равно произведению математических ожиданий сомножителей: 
4. Математическое ожидание суммы случайных величин 
равно сумме математических ожиданий слагаемых: 
– Дисперсия
Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: 
.
|
|
|
Дисперсию удобно вычислять с помощью следующей формулы: 
Дисперсия ожидание обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной равна нулю: 
;
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: 
;
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин 
равна сумме дисперсий слагаемых:
Замечания:
1. Если рассматривать биноминальный закон распределения случайной величины, то дисперсия будет равна произведению числа испытаний 
на вероятность появления 
и непоявления 
события в одном испытании:
2. Если рассматривать распределение случайной величины, по закону Пуассона, то:
–Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.
Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:
Очевидно, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности рассматриваемой случайной величины. А поскольку среднее квадратичное отклонение равно квадратному корню из дисперсии случайной величины 
, то размерность 
совпадает с размерностью 
. В связи с этим, в тех случаях, когда желательно чтобы оценка рассеяния имела размерность изучаемой случайной величины, вычисляют 
, а не 
.
Если случайная величина распределена по биноминальному закону, то 
.
Пример 30. Случайная величина 
задана законом распределения.
|
|
|
Найти .
|
| 2 | 3 | 10 |
|
| 0,1 | 0,4 | 0,5 |
Решение:
1. Математическое ожидание : 
.
2. Математическое ожидание 
: 
.
3. Дисперсия 
.
4. Искомое среднее квадратичное отклонение: 
.
3.4. Задачи для самостоятельного решения
81. [1] В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины 
числа стандартных деталей среди отобранных. (Ответ:
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0 | 1/5 | 3/5 | 1/5 |
82. [1] Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Ответ:
|
| 0 | 1 | 2 |
|
| 9/16 | 6/16 | 1/16 |
83. [1] Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величины числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов. (Ответ:
а)
|
| 0 | 3 | 3 | 3 | ….. | 
| ….. |
| 0,2 | 0,16 | 0,128 | 1/5 | …... | 
| ….. |
б) 
.
84. [1] Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных. (Ответ: 
).
85. [1] Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым – 0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре скомпоненты закона распределения дискретной случайной величины числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками (т. е. ограничиться возможными значениями 
, равными 1, 2, 3 и 4). (Ответ:
|
| 0 | 2 | 3 | 4 |
|
| 0,7 | 0,24 | 0,042 | 0,0144 |
86. [1] Испытывается устройство, состоящее из пяти независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов соответственно равны 0,05; 0,06; 0,08; 0,09; 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного числа отказавших приборов. (Ответ: 
; 
).
87. [2] Из 15 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 15, наудачу извлекается 3 жетона. Составить таблицу распределения вероятностей для числа выбранных жетонов, номера которых кратны пяти. Найти математическое ожидание этой случайной величины. (Ответ:).
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 
| 
| 
| 
|
88. [2] Производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного числа произведенных выстрелов. (Ответ: 
; 
).
89. [2] Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,005.
(Ответ: 
).
90. [2] На факультете успеваемость составляет 90%. Наудачу выбираются 40 студентов. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе. (Ответ: 
; 
).
91. [4] Дана функция распределения случайной величины 
Найти: а) ряд распределения; б) 
и ; в) построить многоугольник распределения и график 
. (Ответ:
а) 
; б) 
; 
).
92. [4] Одна из случайных величин задана законом распределения
|
| -1 | 0 | 1 |
| 0,1 | 0,8 | 0,1 |
а другая имеет биномиальное распределение с параметрами 
, 
. Составить закон распределения их суммы и найти математическое ожидание этой случайной величины. (Ответ:
, 
.
93. [4] В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. (Ответ:).
, 
; 
.
94. [4] Дан ряд распределения случайной величины
|
| 2 | 4 |
|
| 
| 
|
Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия 0,84.
|
|
|
(Ответ: 
при 
; 
при 
; при 
).
95. [4] Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины. (Ответ:).
; 
.
96. [3] Из урны, содержащей 
белых и 
черных шаров, извлекается по одному шару и каждый раз возвращается обратно, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание числа вынутых черных шаров. (Ответ: 
).
97. [3] Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков при одном бросании игральной кости и суммы очков при бросании двух игральных костей. (Ответ: Пусть 
число очков при бросании одной кости, 
, 
. Для двух костей 
; 
; 
).
98. [4] Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0б6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Необходимо: а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. (Ответ:
а) 
; б) 
; 
.
99. [4] В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. (Ответ:
, 
;
.
100. [4] Распределение дискретной случайной величины задано формулой 
, где 
. Найти: а) константу 
; б) вероятность события 
. (Ответ: а) 
; б). 
.
101. [5] Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты срабатывает правильно, равна 0,98. Построить ряд распределения случайной величины – числа опусканий монет в автомат до первого правильного срабатывания автомата. Найти вероятность того, что было опущено 5 монет. Решить ту же задачу при условии, что в наличии всего 3 монеты. Ответ:
|
|
|
|
| 1 | 2 | 3 | ….. |
|
| 
| 
| 
| ….. |
;
| 1 | 2 | 3 |
|
| 
| 
| 
|
102. [5] Построить ряд распределения числа попаданий в ворота при двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попадания при одном ударе равна 0,7. Ответ:
| 0 | 1 | 2 |
|
| 
| 
| 
|
103. [5] Дискретная случайная величина 
имеет ряд распределения
| 0 | 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
Построить: а) ряд распределения случайной величины 
;
б). график функции распределения случайной величины 
.
Ответ:
а)
| 
| 
| 
|
|
|
| 
| 
| 
|
|
б)
104. [5] У дежурного имеется 7 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Построить ряд распределения числа попыток открыть дверь (проверенный ключ второй раз не используется). Построить многоугольник этого распределения. Ответ:
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
|
|
105. [5] Найти функцию распределения случайной величины 
, где случайная величина 
число очков, выпадающее при бросании игральной кости. Ответ:
106. [5] Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,4. Построить ряд распределения числа библиотек, которые он может посетить, если ему доступны четыре библиотеки.
Ответ:
|
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
| 
| 
|
107. [5] Автомобиль по пути к месту назначения встретит 5 светофоров, каждый из которых пропустит его с вероятностью 1/3. Построить ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки или до прибытия к месту назначения. Ответ:
|
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
108. [5] АТС обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в течение 3 минут на АТС поступит вызов, равна 0,002. Построить ряд распределения случайной величины 
, равной числу вызовов, поступивших на АТС в течение 3 минут. Найти вероятность того, что за это время поступит более трех вызовов. Ответ:
| 0 | 1 | 2 | …… | 1500 |
|
| 
| 
| 
| …… | 
|
.
109. [5] Задано распределение дискретной случайной величины 
|
| -3 | -1 | 0 | 1 | 3 | 5 |
|
| 0,05 | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,15 | 0,05 |
Найти распределение случайной величины:
а) 
; б). 
.
Ответ: а)
|
| 0 | 1 | 3 | 5 |
|
| 0,25 | 0,50 | 0,20 | 0,05 |
110. [5] Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения: а) суммы выпавших очков; б) разности выпавших очков.
Ответ: б)
|
| -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
111. [3] Монету бросают, пока не выпадет решетка. Найти функцию распределения числа выпадения герба. (Ответ: Пусть 
число выпадений герба. Пусть 
целое и 
, тогда 
; если нецелое, то 
).
112. [3] Случайная величина 
имеет следующее распределение
|
| -1,0 | -0,5 | -0,1 | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,1 | 1,5 | 2,0 |
| 0,005 | 0,012 | 0,074 | 0,102 | 0,148 | 0,231 | 0,171 | 0,160 | 0,081 | 0,016 |
Найти а) математическое ожидание и дисперсию ; б) вероятность того, что примет значение, на отрезке [-0,5;0,5]. (Ответ: а). 
; 
; 
; б) 
).
113. [3] Из ящика, содержащего 2 белых и 4 черных шара, вынимают три шара и перекладывают в другой ящик, где имелось 5 белых шаров. Затем из второго ящика 4 шара перекладываются в первый. Найти математическое ожидание числа белых шаров 
и 
в обоих ящиках. (Ответ: 
; 
).
114. [3] Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения с вероятностями 
. Найти математическое ожидание и дисперсию 
. (Ответ: 
; 
).
115. [3] Пусть 
есть число появления события 
в серии из 
независимых испытаний. Вероятность появления события в 
-м испытании равна 
. Найти математическое ожидание и дисперсию величины 
. (Ответ: 
; 
).
116. [4] Даны законы распределения двух независимых случайных величин
: 
:
|
| 0 | 1 | 0,5 | и | 
| 2 | 3 |
| 0,2 | ? | 
| 0,4 | ? |
Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины 
и проверить выполнение свойств математических ожиданий и дисперсий:
, 
.
Ответ:
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
117. [4] Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины. Ответ:
; 
; 
{0 при 
; 0,2 при 
; 0,4 при 
; 0,6 при 
; 0,8 при 
; 1 при 
}.
118. [6] В автосалоне из 10 автомобилей 8 новых, остальные с пробегом. Наудачу выбраны два автомобиля. Составить закон распределения числа новых автомобилей среди отобранных. Ответ:
| 0 | 1 | 2 |
| 1/45 | 16/45 | 28/45 |
119. [6] В городе 8 туристических фирм, у которых за последнее время риск банкротства увеличился до 30%. Составить ряд распределения числа турфирм, которые могут обанкротиться в течение следующего года.. Ответ:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|
| 0,0576 | 0,1977 | 0,2965 | 0,2541 | 0,1361 | 0,0467 | 0,01 | 0,0012 | 0,0001 |
120. [6] В барабане револьвера 7 гнезд. В одно гнездо заложен патрон, а остальные пустые. Барабан приводится во вращение и против ствола случайным образом оказывается патрон либо пустое гнездо. После этого нажимается на спусковой крючок нужное число раз, пока не произойдет выстрел по испытательному стенду. Найти закон распределения количества возможных нажатий на спусковой крючок. Ответ:
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 0,1428 | 0,1224 | 0,1049 | 0,0899 | 0,0771 | 0,0661 | 0,3968 |
