2020-05-21
3445
Определение. Непрерывной называется такая случайная величина 
, для которой функция распределения непрерывна.
В данном случае, производную от функции распределения случайной величины называют плотностью распределения вероятности.
В отличии от функции распределения, понятие плотность вероятности существует только для непрерывных случайных величин. Плотность вероятности непрерывной случайной величины обладает следующими свойствами.
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. 
;
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал 
равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от 
до 
, т.е. 
.
3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по следующей формуле:
.
4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице. 
.
Приведем основные числовые характеристики непрерывных случайных величин.
|
|
|
–Математическое ожидание:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятности 
называется следующий определенный интеграл 
.
–Дисперсия:
Дисперсией непрерывной случайной величины 
называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от среднего значения.
,
однако, оказывается удобнее вычислять по формуле
.
–Среднее квадратическое отклонение:
Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины принято называть корень квадратный из дисперсии
Если 
представляет собой функцию случайного аргумента , который имеет плотность вероятности , то математическое ожидание и дисперсия случайной величины 
находятся по следующим формулам:
Пример 32. Случайная величина 
задана плотностью вероятности 
в интервале 
, вне этого интервала 
. Требуется определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .
Решение: Математическое ожидание:
;
Дисперсия: 
;
Среднее квадратическое отклонение:
.
Пример 33. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины :
Найти интегральную функцию 
, предварительно вычислив значение параметра 
.
Решение: Поскольку все значения случайной величины 
принадлежат интервалу 
. то 
.
Интегральная функция определяется следующим образом:
При 
, 
;
При 
, 
;
При 
, 
.
Следовательно:
Пример 34. Случайная величина 
задана плотностью вероятности 
в интервале 
, вне этого интервала . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
.
Решение: Искомые величины определяются по представленным выше формулам:
|
|
|
; 
3.6 Задачи для самостоятельного решения
121. [2] Дана интегральная функция распределения случайной величины 
:
Найти плотность вероятности .
Ответ:
122. [2] Дана плотность вероятности случайной величины :
Найти параметр . (Ответ:. 
).
123. [2] Случайная величина , принимающая положительные значения, имеет плотность вероятности 
. Найти границы значений случайной величины , параметр 
и математическое ожидание случайной величины . (Ответ. 
; 
; 
).
124. [2] Случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей на интервале ]4;10[. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. (Ответ: 
; 
; 
).
125. [2] Случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей. Найти плотность вероятности, если математическое ожидание случайной величины 
равно 8, а дисперсия равна (1/3). Ответ:
126. [2] Два действительных числа 
и 
выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность того, что сумма этих квадратов окажется больше 64? (Ответ: 
).
127. [2] Из фиксированной вершины квадрата со стороной произвольным радиусом, меньшим его диагонали, проведена окружность. Какова вероятность того, что она пересечет стороны квадрата, которым принадлежит данная вершина? (Ответ: 
).
128. [2] В равносторонний треугольник, сторона которого равна , вписан круг. Внутри треугольника независимо друг от друга наудачу выбираются 5 точек. Какова вероятность того, что 3 из этих точек окажутся внутри круга? (Ответ: 
).
129. [2] Закон равномерного распределения вероятностей случайной величины 
задан плотностью вероятности
Найти интегральную функцию случайной величины 
. Ответ:.
130. [1] Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале ]0, 
[ равна 
; вне этого интервала . Найти постоянный параметр 
. (Отве: 
).
131. [1] Непрерывная случайная величина 
в интервале ]0, 
[ задана плотностью распределения 
; вне этого интервала 
. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу ]1, 2[. (Ответ: 
).
132. [1] Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :
Найти функцию распределения . Ответ:
133. [1] Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале ] 
, [ равна 
; вне этого интервала 
. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях примет ровно два раза значение, заключенное в интервале
] 
, 
[.
(Ответ:. 
; 
).
134. [1] Случайная величина задана плотностью распределения 
в интервале ] , 
[; вне этого интервала . Найти математическое ожидание величины . (Ответ: 
).
135. [1] Случайная величина в интервале ] 
, 
[ задана плотностью распределения 
; вне этого интервала . Найти дисперсию . (Ответ: 
).
136. [1] Авттобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин. (Ответ. 
).
137. [1] Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , распределенной равномерно в интервале ]2, 8[ (Ответ: ; 
).
138. [1] Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности 
в интервале ] , 
[; вне этого интервала . Найти функцию распределения . Ответ:
139. [1] Минутная стрелка кварцевых часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с. (Ответ:. 
).
140. [4] Дана функция
При каком значении параметра 
эта функция является плотностью распределения некоторой некоторой непрерывной случайной величины ? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины . (Ответ: ; 
; 
).
141. [4] Случайная величина 
задана функцией распределения
Найти: а) плотность вероятности 
; б) математическое ожидание 
; в) дисперсию 
. (Ответ:. 
{0 при 
и при 
; 
при. 
}; б) 
; в) 
; г) 
; 
; 
).
|
|
|
142. [4] Случайная величина , сосредоточенная на интервале ] 
, 
[, задана квадратичной функцией распределения 
, имеющей максимум при 
. Найти параметры 
, и 
и вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал [2;3]. (Ответ: 
; 
; 
; 
).
143. [4] Случайная величина , сосредоточенная на интервале [- 
, 3], задана функцией распределения 
. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [0;2]. Построить график функции 
. (Ответ: 
).
144. [4] Случайная величина 
, сосредоточенная на интервале [2, 6], задана функцией распределения 
. Найти вероятность того, что случайная величина примет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6. Ответ:.
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
145. [5] При каких значениях параметров 
и функция
Может быть функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины ? Найти вероятность того, что случайная величина примет значение заключенное в промежутке ]-2,3, 1,5[. Построить график распределения этой случайной величины. (Ответ: 
, 
; 
).
146. [5] Задана функция распределения непрерывной случайной величины
Найти: а) значения постоянных и 
; б) плотность распределения случайной величины . (Ответ: а) 
,. 
; б) 
при 
и 
в остальных случаях).
147. [5] Случайная величина задана функцией распределения
Найти: а) плотность распределения случайной величины ; б) вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значения в интервале ]-1,1[. Ответ:
а) 
б) 
.
148. [5] Задана функция
Определить: а) при каком значении функция будет функцией распределения случайной величины ; б) плотность вероятности случайной величины 
. (Ответ: а). 
; б). 9/16 ).
149. [5] Дана функция распределения непрерывной случайной величины 
Функция 
при 
имеет максимум. Найти: а) параметры , , ; в) вероятности событий 
, 
. (Ответ.:а) 
, 
, 
; б) 
, 
, 
).
150. [3] Случайная величина 
распределена равномерно. 
, 
. Найти плотность величины . (Ответ: 
при 
, и вне этого интервала).
151. [3] Найти математическое ожидание и дисперсию двух независимых случайных величин и 
, равномерно распределенных соответственно в промежутках 
и 
. Ответ: 
;
|
|
|
.
152. [3] Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса 
. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния точки до центра круга. Ответ:.
, 
; 
.
153. [3] Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
; 
; и 
положительные постоянные. Найти математическое ожидание и дисперсию величины 
. Ответ:
;
154. [3] Мишень состоит из трех концентрических кругов с радиусами 
, 
и 
. Попадание в центральный круг стоит 4 очка, в среднее кольцо – 3 очка, в крайнее кольцо – 2 и вне круга – 0 очков. Вероятность попадания на расстоянии 
от центра мишени равна 
. Найти математическое ожидание числа очков, выбитых при пяти выстрелах. (Ответ: 
).
155. [3] Случайная величина имеет плотность
Найти математическое ожидание и дисперсию величины 
. (Ответ: 
; 
).
156. [3] Пусть 
есть число появлений события 
в серии 
независимых испытаний, в каждом из которых 
. Найти 
и 
. (Ответ: 
;. 
).
157. [6] Обвал одинаково возможен в любой точке на горной дороге от 30-го км до 90-го км. Вероятность того, что обвал произойдет в интервале от конца или начала дороги равен 1/5. Найти эти интервалы. (Ответ: а).(30; 36); б) (84; 90)).
158. [6] Найти параметр 
распределения: а) заданного плотностью
б) заданного функцией распределения
(Ответ: а). 
; б) 
).
159. [6] Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 60 с. Найти плотность и функцию распределения этой случайной величины. Определить вероятность того, что время ожидания ответа не превысит 45 с. Ответ:.
. 
