Определение. Непрерывной называется такая случайная величина , для которой функция распределения непрерывна.
В данном случае, производную от функции распределения случайной величины называют плотностью распределения вероятности.
В отличии от функции распределения, понятие плотность вероятности существует только для непрерывных случайных величин. Плотность вероятности непрерывной случайной величины обладает следующими свойствами.
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. ;
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от до , т.е. .
3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по следующей формуле:
.
4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице. .
Приведем основные числовые характеристики непрерывных случайных величин.
|
|
–Математическое ожидание:
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятности называется следующий определенный интеграл .
–Дисперсия:
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от среднего значения.
,
однако, оказывается удобнее вычислять по формуле
.
–Среднее квадратическое отклонение:
Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины принято называть корень квадратный из дисперсии
Если представляет собой функцию случайного аргумента , который имеет плотность вероятности , то математическое ожидание и дисперсия случайной величины находятся по следующим формулам:
Пример 32. Случайная величина задана плотностью вероятности в интервале , вне этого интервала . Требуется определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .
Решение: Математическое ожидание:
;
Дисперсия: ;
Среднее квадратическое отклонение:
.
Пример 33. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины :
Найти интегральную функцию , предварительно вычислив значение параметра .
Решение: Поскольку все значения случайной величины принадлежат интервалу . то .
Интегральная функция определяется следующим образом:
При , ;
При , ;
При , .
Следовательно:
Пример 34. Случайная величина задана плотностью вероятности в интервале , вне этого интервала . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Решение: Искомые величины определяются по представленным выше формулам:
|
|
;
3.6 Задачи для самостоятельного решения
121. [2] Дана интегральная функция распределения случайной величины :
Найти плотность вероятности .
Ответ:
122. [2] Дана плотность вероятности случайной величины :
Найти параметр . (Ответ:. ).
123. [2] Случайная величина , принимающая положительные значения, имеет плотность вероятности . Найти границы значений случайной величины , параметр и математическое ожидание случайной величины . (Ответ. ; ; ).
124. [2] Случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей на интервале ]4;10[. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. (Ответ: ; ; ).
125. [2] Случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей. Найти плотность вероятности, если математическое ожидание случайной величины равно 8, а дисперсия равна (1/3). Ответ:
126. [2] Два действительных числа и выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность того, что сумма этих квадратов окажется больше 64? (Ответ: ).
127. [2] Из фиксированной вершины квадрата со стороной произвольным радиусом, меньшим его диагонали, проведена окружность. Какова вероятность того, что она пересечет стороны квадрата, которым принадлежит данная вершина? (Ответ: ).
128. [2] В равносторонний треугольник, сторона которого равна , вписан круг. Внутри треугольника независимо друг от друга наудачу выбираются 5 точек. Какова вероятность того, что 3 из этих точек окажутся внутри круга? (Ответ: ).
129. [2] Закон равномерного распределения вероятностей случайной величины задан плотностью вероятности
Найти интегральную функцию случайной величины . Ответ:.
130. [1] Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале ]0, [ равна ; вне этого интервала . Найти постоянный параметр . (Отве: ).
131. [1] Непрерывная случайная величина в интервале ]0, [ задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу ]1, 2[. (Ответ: ).
132. [1] Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :
Найти функцию распределения . Ответ:
133. [1] Плотность распределения непрерывной случайной величины в интервале ] , [ равна ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях примет ровно два раза значение, заключенное в интервале
] , [.
(Ответ:. ; ).
134. [1] Случайная величина задана плотностью распределения в интервале ] , [; вне этого интервала . Найти математическое ожидание величины . (Ответ: ).
135. [1] Случайная величина в интервале ] , [ задана плотностью распределения ; вне этого интервала . Найти дисперсию . (Ответ: ).
136. [1] Авттобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин. (Ответ. ).
137. [1] Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , распределенной равномерно в интервале ]2, 8[ (Ответ: ; ).
138. [1] Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности в интервале ] , [; вне этого интервала . Найти функцию распределения . Ответ:
139. [1] Минутная стрелка кварцевых часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с. (Ответ:. ).
140. [4] Дана функция
При каком значении параметра эта функция является плотностью распределения некоторой некоторой непрерывной случайной величины ? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины . (Ответ: ; ; ).
141. [4] Случайная величина задана функцией распределения
Найти: а) плотность вероятности ; б) математическое ожидание ; в) дисперсию . (Ответ:. {0 при и при ; при. }; б) ; в) ; г) ; ; ).
|
|
142. [4] Случайная величина , сосредоточенная на интервале ] , [, задана квадратичной функцией распределения , имеющей максимум при . Найти параметры , и и вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал [2;3]. (Ответ: ; ; ; ).
143. [4] Случайная величина , сосредоточенная на интервале [- , 3], задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал [0;2]. Построить график функции . (Ответ: ).
144. [4] Случайная величина , сосредоточенная на интервале [2, 6], задана функцией распределения . Найти вероятность того, что случайная величина примет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6. Ответ:.
а) ; б) ;
в) ; г) .
145. [5] При каких значениях параметров и функция
Может быть функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины ? Найти вероятность того, что случайная величина примет значение заключенное в промежутке ]-2,3, 1,5[. Построить график распределения этой случайной величины. (Ответ: , ; ).
146. [5] Задана функция распределения непрерывной случайной величины
Найти: а) значения постоянных и ; б) плотность распределения случайной величины . (Ответ: а) ,. ; б) при и в остальных случаях).
147. [5] Случайная величина задана функцией распределения
Найти: а) плотность распределения случайной величины ; б) вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значения в интервале ]-1,1[. Ответ:
а) б) .
148. [5] Задана функция
Определить: а) при каком значении функция будет функцией распределения случайной величины ; б) плотность вероятности случайной величины . (Ответ: а). ; б). 9/16 ).
149. [5] Дана функция распределения непрерывной случайной величины
Функция при имеет максимум. Найти: а) параметры , , ; в) вероятности событий , . (Ответ.:а) , , ; б) , , ).
150. [3] Случайная величина распределена равномерно. , . Найти плотность величины . (Ответ: при , и вне этого интервала).
151. [3] Найти математическое ожидание и дисперсию двух независимых случайных величин и , равномерно распределенных соответственно в промежутках и . Ответ: ;
|
|
.
152. [3] Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса . Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния точки до центра круга. Ответ:.
, ; .
153. [3] Случайная величина равномерно распределена на отрезке ; ; и положительные постоянные. Найти математическое ожидание и дисперсию величины . Ответ:
;
154. [3] Мишень состоит из трех концентрических кругов с радиусами , и . Попадание в центральный круг стоит 4 очка, в среднее кольцо – 3 очка, в крайнее кольцо – 2 и вне круга – 0 очков. Вероятность попадания на расстоянии от центра мишени равна . Найти математическое ожидание числа очков, выбитых при пяти выстрелах. (Ответ: ).
155. [3] Случайная величина имеет плотность
Найти математическое ожидание и дисперсию величины . (Ответ: ; ).
156. [3] Пусть есть число появлений события в серии независимых испытаний, в каждом из которых . Найти и . (Ответ: ;. ).
157. [6] Обвал одинаково возможен в любой точке на горной дороге от 30-го км до 90-го км. Вероятность того, что обвал произойдет в интервале от конца или начала дороги равен 1/5. Найти эти интервалы. (Ответ: а).(30; 36); б) (84; 90)).
158. [6] Найти параметр распределения: а) заданного плотностью
б) заданного функцией распределения
(Ответ: а). ; б) ).
159. [6] Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 60 с. Найти плотность и функцию распределения этой случайной величины. Определить вероятность того, что время ожидания ответа не превысит 45 с. Ответ:.
.