Частотные критерии

2 3 4 5 6 7 8

Тогда

x^*(t)= x(t)+ Dx(t) (3)

Внесем значение (3) в дифференциальное уравнение (1). Получим

Разложим правую часть уравнения в ряд Тейлора по степеням Dx

Обозначим через

Тогда выражение (4) (при условии ) можно записать в виде:

Уравнение (5) называется дифференциальным уравнением возмущенного движения. Если в этом уравнении отбросить член Dx^*, то полученное при этом уравнение

(6)

называется уравнением первого приближения.

Уравнение первого приближения во многих случаях дает верный ответ на вопрос об устойчивости движения, но отметим, что это соблюдается не всегда. Введем обозначения

Тогда уравнение (6) приводится к виду:

(p+a)Dx = 0 (7)

Выражение в скобках p+a называется характеристическим многочленом системы. С учетом выражения (3) траектории возмущенного и невозмущенного движения удобно представлять так, ка на рис.2.

Рис.2. Графическое представление траекторий возмущенного (а) и невозмущенного движений системы (b).

Возмущения ± Dx₀действуют в момент времени t₀, при этом траектория невозмущенного движения совпадает с осью абсцисс (осью времени).

4. Как определить устойчиво ли невозмущенное движение системы? Ответ на этот вопрос дал в 1892 г. А М. Ляпунов. Он предложил в произвольный момент времени t₀ввести в невозмущенное движение возмущенное Dx₀ (например, в положительном направлении) и по характеру возмущенного движения Dx(t) системы для любого момента времени t> t₀, судить об устойчивости невозмущенного движения. Приведем определение устойчивости по Ляпунову. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к переменным Dx, если при произвольно выбранном числе e>0,как бы мало оно не было, можно выбрать другое такое же число d₍_e₎>0, что при всяких возмущениях Dx₀, удовлетворяющих условию Dx₀£d и при любом t ³ t₀ будет выполняться неравенство Dx<e. В противном случае движение не устойчиво. Геометрическая интерпретация определения приведена на рис. 3.

Рис.3. Графическое представление определения устойчивости.

Зону образованную прямыми ±d параллельными оси называют d–трубкой, аналогичную зону образованную прямыми ±e, называют e–трубкой. Возмущенное движение 1 будет устойчивым, т.к. оно не выходит за пределы e–трубки, а возмущенное движение 2 будет неустойчивым, т.к. в момент времени t₁ > t₀оно выходит за пределы e–трубки. При этом в обоих случаях возмущения Dx₀₁и Dx₀₂ не выходит за пределы d–трубки.

5. Устойчивое движение по Ляпунову будет называться асимптотическим устойчивым, если "t > t_0,

Траектория возмущенного движения 3 на рис.3. не только не выходит за пределы e–трубки, но и при достаточно большом t асимптотически стремиться к оси t. Поэтому система, получающая в момент времени t₀возмущение Dx₀₃и имеющая для всех t > t₀траекторию 3 возмущенного движения (рис. 3.), будет асимптотически устойчивой.

Если система асимптотически устойчива при достаточно больших возмущениях, то она называется устойчивой в целом.

Рис. 4. Примеры устойчивых и неустойчивых систем.

На рис.4. (a) приведен пример маятника, представляющего собой тело, укрепленное на стержне, массой которого можно пренебречь, точка 0 является неподвижной точкой подвеса маятника. Если маятника находится в положении 1, то наибольшее возмущение Dx₀₁выведет из состояния равновесия. Следовательно, маятник в положении 1 является не устойчивой системой. Если маятник, находящийся в положении 2, отклонить на угол Dx₀₂и пренебречь силой трения в опоре и сопротивлением воздуха, то маятник будет совершать устойчивые незатухающие колебания относительно положения 2. Такая система будет устойчивой. Если учесть трение в опоре и сопротивление воздуха, то через достаточно большое время маятник вернется в положение 2, и в этом случае он представляет собой асимптотически устойчивую систему или систему устойчивую в целом. Аналогично шары, находящиеся на гладких поверхностях (b) и (c), будут представлять собой соответственно неустойчивую и асимптотически устойчивую систему.

6. Ранее рассматривалась система (1), описываемая дифференциальным уравнением 1-го порядка. Если рассмотреть общий случай, когда исследуемая на устойчивость система описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, то уравнение первого приближения можно записать следующим образом:

, (8)

где a₁,..a_n –постоянные коэффициенты, причем .

Характеристический многочлен системы будет иметь вид:

G(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 +…+ a_n-1p + … + a_n,

а характеристическое уравнение:

a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + an-1p + … + a_n = 0 (9)

имеет корни (полюса) .

Эти корни в общем случае являются комплексными P_i = a_i + jw_i, т.е. содержат вещественную и мнимую части. Если корень имеет отрицательную вещественную часть, т.е. a_i < 0, то он называется левым, т.к. точка, изображающая его положение на комплексной плоскости, располагается слева от мнимой оси (рис. 5.).

Рис. 5. Расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (Re – вещественная ось, Im – мнимая ось).

Корень p₁ будет левым, корень p₂ будет правым, а p₃, расположенный на мнимой оси (a3 = 0), называется нейтральным.

Пример 1. Характеристическое уравнение:

p² - 4p + 13 = 0;

Оба корня являются правыми.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней p_i характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Если среди корней p_i характеристического уравнения первого приближения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение устойчиво.

На основании этих теорем, чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми.

Необходимым условием устойчивости для систем любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

Для систем 1-го и 2-го порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчивости. Система, характеристическое уравнение которой приведено в примере 1, является неустойчивой.

Пример 2. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

p² - 4p + 13 = 0;

p_1,2 = -2 ± 3j.

Поскольку оба корня уравнения левые, то система будет асимптотически устойчивой.

Пример 3. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

p² - 2p = 0;

p₁ = 0, p₂= -2.

Корень p1 –нейтральный, корень p2 –левый.

Поэтому система будет условно устойчивой, аналогично маятнику находящемуся в состоянии незатухающих колебаний относительно положения II (рис. 4. (а)).

Если характеристическое уравнение исследуемой цифровой системы имеет вид:

G(z) = a_nzⁿ+ a_n-1z^n-1+…+a₀

То необходимо и достаточным условием устойчивости системы является то, что все полюса по модулю должны быть меньше единицы. Другими словами, все корни G(z) должны лежать внутри круга единичного радиуса.

Пример: Передаточная функция замкнутой цифровой системы:

Определить устойчивость системы.

Характеристическое уравнение системы:

z²- 1,78p + 0,89 = 0

Корни (полюса):

Модуль полюсов:

Критерий устойчивости – это правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Все критерии делятся на:

- алгебраические;

- частотные.

7. Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Критерий Раусса (англ. 1877г.).

G(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n

Составляется таблица:

Коэффициент, r_i	Строка, i	Столбец, j

-		a₀ = c₁₁	a₂ = c₂₁	a₄ = c₃₁	a₆ =
-		a₁ = c₁₂	a₃ = c₂₂	a₅ = c₃₂	a₇ =
r₃ = a₀ / a₁		с₁₃ =
r₄ = c₁₁ / c₁₃		с₁₄ =
r₅ = c₁₃ / c₁₄
	…
	i	c_1i = c_2,i-2 – r_ic_2,i-1

Для того, чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Раусса имели один и тот же знак.

Пример. Пусть:

G(p) = p⁶ + 6p⁵ + 21p⁴ + 44p³ + 62p² + 52p + 100 = 0.

Составим таблицу Раусса:

Коэффициент, r_i	Строка i	Столбец, j

-		a₀ = 1	a₂ = 21	a₄ = 62	a₆ = 10
-		a₁ = 6	a₃ = 44	a₅ = 52	a₇ = 0
r₃ = a₀ / a₁ = 1/6 = = 0,167		с₁₃=21-‑0,167×44= =13,65	с₂₃=62-‑0,167×52= =53,3	с₃₃= 100
r₄ = a₁/c₁₃ = 6/13,65 = = 0,44		с₁₄=44 -‑0,44×53,3= =20,6	с₂₄=52 -‑0,44×100= =8
r₅ = c₁₃ / c₁₄ = = 13,65/20,6 = 0,66		с₁₅= 48	с₂₅= 100
r₆ = c₁₄ / c₁₅ = = 20,6/48 = 0,43		с₁₆= -35
r₇ = c₁₅ / c₁₆ = = 48/‑35 = -1,37		с₁₇=100‑ ‑(‑1,37)×0= =100

Имеется две переменные знака коэффициента первого столбца. Следовательно, система неустойчива, а уравнение G(p) имеет два правых корня.

В основе частотного критерия устойчивости лежит принцип аргумента: Изменение (приращение) аргумента G(jw) при изменение w от -¥ до ¥ равно разности между числом левых и правых корней уравнения G(p) = 0, умноженной на p.

где m – число правых корней,

n – число левых корней.

Критерий Михайлова (1938).

Система устойчива, если годограф обходит последовательно n квадрантов в положительном направлении, где n – порядок характеристического уравненния G(p).

Для цифровых систем критерий, эквивалентный критерию Рауса-Гарвица, был предложен Джури. Чтобы определить, все ли корни многочлена

G(z) = a₀zⁿ+ a₁z^n-1+ … + a_n

находятся внутри единичного круга, составляют следующую таблицу:

a₀	a₁	...	a_n-1	a_n
a_n	a_n-1		a₁	a₀


..........

где:

Первая и вторая строки - это коэффициенты характеристического многочлена в прямом и обратном порядке. Третья строка получается умножением второй строки на a_n=a_n/a₀и вычитанием произведения из первой строки, т.о. последний элемент в третьей строке равен 0. Четвертая строка - это третья, записанная в обратном порядке. Схема повторяется до (2n+1) строки. Последняя строка состоит только из одного элемента.

Критерий Джури.

Если a₀>0, то вcе корни многочлена лежат внутри единичного круга тогда и только тогда, когда все , k = 0, 1, 2,..., n-1 положительны. Если нет равных нулю, то количество отрицательных равно количеству корней вне единичного круга.