2015-03-22
814
, 
где 
.
Формула Эйлера: 
16.1. Даны комплексные числа 
.
Найти: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение:
а) 
;
;
б) 
(ибо 
).
в)
16.2. Комплексные числа 
представить в тригонометрической форме и найти:
а) ; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение:
а) По формуле (16.6) найдем модуль комплексного числа 
:
, а из соотношений (16.7) 
;
получим аргумент числа (берем его главное значение):
.
Аналогично 
; 
, 
.
Теперь по формуле(16.8)
б) По формуле (16.9):
в) По формуле Муавра (16.10):
г) По формуле (16.11)
,
откуда получаем три значения корня:
при 
;
при 
;
при 
.
16.3. Комплексные числа представить в показательной форме.
Решение. В задаче 16.2 было получено:
.
Следовательно, по формуле (16.12) 
.
16.4. Решить уравнение:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение:
а) Перепишем уравнение в виде 
, откуда 
.
б) По формуле корней квадратного уравнения 
.
в) Полагая 
, получим уравнение 
,откуда 
.
Теперь 
и 
.
Первый способ. Решим первое уравнение. Приведем комплексное число 
к тригонометрическому виду. Получим (аналогично 16.2):
,где 
, 
.
Тогда 
и по формуле (16.11)
.
При , 
, где учли, что
При 
.
Аналогично решением уравнения 
будут 
и 
.
Второй способ. Решим уравнение . Пусть комплексное число 
где 
и 
- действительные числа. Тогда
или 
.
Из условия равенства комплексных чисел получим систему:
решая которую методом подстановки найдем: 
или 
откуда 
.
Аналогично решениями уравнения будут, числа и .
г) Перепишем уравнение в виде 
и по формуле (16.11) найдем шесть корней уравнения 
:
; 
; 
; 
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов.- М.: ЮНИТИ,2003.
2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов.- М.: Инфра-М,1997.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.- М.: Финансы и статистика. 1998. ч.2.
4. Руководство по решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики. /Под. ред. Карасева А.И. и Кремера Н.Ш.- М.: Экономическое образование, 1989.
5. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. - М., 1980.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1988.
7.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. - М.: Наука, 1985.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1977.
9. Первозванский А.Т., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: ИНФРА-М., 1994.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел II. Введение в анализ. 3
Глава 5. Функция. 3
Глава 6. Пределы и непрерывность. 7
6.1. Определение предела. Простейшие пределы.. 8
6.2. Раскрытие неопределенностей различных типов. 8
6.3. Замечательные пределы 12
6.5. Непрерывность функции и точки разрыва. 15.
Глава 7. Производная. 17
7.1. Определение производной. 17
7.2. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. 18
7.3. Геометрические и механические приложения производной. 22
7.4. Предельный анализ экономических процессов. 24
Глава 8. 29
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления. 29
8.2. Правило Лопиталя. 30
8.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. 32
8.4. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба. 36
8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. 37
8.6. Применение производной в задачах с экономическим содержанием.. 40
Глава 9. Дифференциал функции. 43
Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной. 46
10.1.Неопределенный интеграл. 46
10.2. Интегрирование разложением. 46
10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции. 48
10.4. Метод подстановки. 49
10.5. Метод интегрирования по частям. 51
10.6. Интегрирование некоторых функций, содержащий квадратный трехчлен. 52
10.7. Интегрирование рациональных функций. 53
10.8. Интегрирование тригонометрических функций. 57
10.9. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 59
Глава 11. Определенный интеграл. 61
11.1. Методы вычисления определенного интеграла. 62
11.2. Геометрические приложения определенного интеграла. 64
11.3. Несобственные интегралы.. 68
11.4. Приближенное вычисление определенного интеграла. 71
11.5. Использование понятия определенного интеграла в экономике. 72
Глава 12. Дифференциальные уравнения. 76
12.1. Основные понятия. 76
12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. 76
12.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 77
12.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 78
12.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 80
12.6. Уравнения в полных дифференциалах. 82
12.7. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 84
12.8. Дифференциальные уравнения второго порядка. 87
12.9. Простейшие типы интегрируемых уравнений второго порядка, случаи понижения порядка 87
12.10. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 89
12.11. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 90
12.12. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами 93.
12.13.Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике94.
Глава 13. Числовые ряды.. 98
13.1. Основные сведения о рядах. 98
13.2. Признаки сходимости рядов с положительными членами. 100
13.3. Сходимость рядов с членами произвольного знака. 105
Глав 14. Степенные ряды.. 109
14.1. Область сходимости степенного ряда. 109
14.2. Ряды Тейлора и Маклорена.Формула Тейлора. 111
14.3. Применение рядов в приближенных вычислениях. 116
Глава 15. Функции нескольких переменных. 121
15.1. Основные понятия. 121
15.2. Частные производные, градиент, дифференциал. 123
15.3. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум.. 125
15.4. Метод наименьших квадратов. 127
15.5. Двойные интегралы.. 131
15.6. Функции нескольких переменных в экономических задачах. 132
Глава 16. Комплексные числа. 136
ЛИТЕРАТУРА.. 140
[1] В скобках указана область (интервал) сходимости данного ряда. Для ряда (14.10) концы интервала сходимости х =±1 включаются (или не включаются) в область сходимости этого ряда в зависимости от конкретных значений m.
