Затухающие колебания

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление . Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 17.2).

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям пружинного маятника при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: . Коэффициент в этой формуле аналогичен сопротивлению в электрическом контуре.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуре, который состоит из катушки индуктивности , конденсатора и резистора , имеет вид

, (17.7)

где - коэффициент затухания.

Рис. 17.2

Напряжение на конденсаторе резонансного контура в случае затухающих колебаний

, (17.8)

где - начальное напряжение на конденсаторе. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления контура. Интервал времени

, (17.9)

в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раза, называется временем затухания (рис. 17.2).

Добротность колебательного контура зависит от всех параметров контура , и :

, . (17.10)

Здесь - период затухающих колебаний, Видно, что добротность пропорциональна числу полных колебаний , совершаемых системой за время затухания .

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, составляет величину порядка нескольких десятков и даже сотен единиц.

Вычислим отношение и

. (17.11)

Оно, как и в механике, называется декрементом затухания, а его логарифм

(17.12)

- логарифмическим декрементом затухания. Из соотношения (17.12) найдем коэффициент затухания

. (17.13)

Частота затухающих колебаний

, ( < ). (17.14)

Отметим, что частота свободных затухающих колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной резонансной частоты идеального контура с теми же значениями и . Но при (5÷10) этим различием можно пренебречь.

17.3. Вынужденные колебания в контуре

Рассмотрим последовательный резонансный контур, содержащий резистор , катушку индуктивности и конденсатор . К контуру подключен источник синусоидальной ЭДС (рис. 17.3). Установившиеся колебания, возникающие в контуре под действием синусоидальной ЭДС, называются вынужденными колебаниями.

Рис. 17.3

Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте внешней ЭДС . Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Периодический внешний источник обеспечивает приток энергии к системе и, несмотря на наличие потерь , не дает колебаниям затухнуть.

Запишем второй закон Кирхгофа для схемы на рис. 17.3:

(17.15)

Учтем, что напряжения на элементах контура , и связаны с током в контуре зависимостями:

, , , (17.16)

и преобразуем (17.15) к виду

. (17.17)

Поскольку

, , (17.18)

перепишем (17.18) в виде

. (17.19)

Введя, как и ранее, обозначения: – коэффициент затухания контура, – собственная резонансная частота свободных колебаний контура, – период свободных колебаний, получим каноническое дифференциальное уравнение вынужденных синусоидальных колебаний в резонансном контуре при действии ЭДС :

. (17.20)

Дальнейший анализ проведем на комплексной плоскости (, ), где . Любое комплексное число на плоскости (, ) изображают в виде вектора. По оси абсцисс комплексной плоскости (ось ) откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат (ось ) – мнимую часть. В качестве примера на рис. 17.4 (а) изображено число .

Рис. 17.4

Из курса математики известна формула Эйлера:

, . (17.21)

Комплексное число также изображают на комплексной плоскости рис. 17.4 (б) вектором, по модулю равным единице, и составляющим угол с осью вещественных чисел (осью ). Положительный угол отсчитывают против часовой стрелки, отрицательный угол - по часовой стрелке.

Для анализа вынужденных колебаний, т.е. решения уравнения (17.20), воспользуемся методом комплексных амплитуд, суть которого изложена в [6]. Любую косинусоидальную или синусоидальную функцию времени можно представить при помощи операций вычисления вещественной или мнимой частей комплексной величины:

, (17.22)

, (17.23)

где - комплексная амплитуда колебаний. Величину также изображают на комплексной плоскости вектором (рис. 17.4 (с)).

В соответствии с методом комплексных амплитуд для решения уравнения (17.20) ищем ток в виде:

, (17.24)

где - комплексная амплитуда тока.

Учитывая, что

, (17.25)

получим выражения для амплитуды и фазы тока вынужденных синусоидальных колебаний в последовательном резонансном контуре:

, . (17.26)

Полное сопротивление последовательного резонансного контура, его модуль и фаза

, ,

. (17.27)

Отсюда сопротивление резистора , сопротивление индуктивности и сопротивление конденсатора для синусоидальных колебаний:

, , . (17.28)

Комплексные амплитуды напряжений , , на элементах контура и комплексная амплитуда тока связаны законом Ома:

, , . (17.29)

Соотношения между комплексными амплитудами напряжений и токов удобно анализировать с помощью векторных диаграмм (рис. 17.5). Из формул (17.29) следует, что вектор напряжения на резисторе и ток в резисторе совпадают по фазе, вектор напряжения на индуктивности опережает ток в индуктивности на 90º, а вектор напряжения на конденсаторе отстает от тока в конденсаторе на 90º.

Рис. 17.5

На рис. 17.6 показаны резонансные кривые колебательного контура по току (17.26), т.е. зависимость амплитуды тока от частоты внешней синусоидальной ЭДС при разных потерях в контуре . Явление резкого возрастания амплитуды тока при равенстве частоты внешнего воздействия и собственной резонансной частоты свободных колебаний контура называется резонансом. Зависимости на рис. 17.6 называются также амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ).

Рис. 17.6

Видно, что чем меньше сопротивление потерь в контуре, тем выше и острее резонансная характеристика. Степень “остроты” определяется добротностью колебательной системы:

, (17.30)

где - характеристическое сопротивление контура. Добротность обычных колебательных контуров 10< <100, при этом, чем меньше , тем больше добротность .

В радиотехнике колебательные контуры используются для выделения сигнала нужной радиостанции на фоне шумов или сигналов других радиостанций, при этом важным параметром является избирательность колебательной системы и чувствительность приемника. Эти параметры в значительной степени зависят от полосы пропускания колебательной системы. Полоса пропускания определяется по уровню 0,707 от максимума резонансной кривой [2]:

. (17.31)

Видно, что чем больше добротность , тем меньше полоса пропускания и наоборот.

Из соотношений (17.29) следует, что амплитуды напряжений на резисторе , конденсаторе и индуктивности последовательного резонансного контура

, , . (17.32)

На резонансе , при этом

, . (17.33)

Видно, что на резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и индуктивности равны друг другу и в раз больше амплитуды ЭДС . Амплитуда равна напряжению на резисторе .

Векторная диаграмма контура на резонансе показана на рис. 17.5. Векторы напряжений на конденсаторе и на индуктивности равны по величине и противоположны по направлению (фазовый сдвиг между ними равен 180º), а вектор ЭДС совпадает на векторной диаграмме с вектором напряжения на сопротивлении ; ток в контуре достигает максимального значения .

Рассчитаем теперь отношение напряжения на конденсаторе к амплитуде внешней ЭДС . Используя (17.32), (17.26), получим:

. (17.34)

Эта зависимость показана на рис. 17.7 и называется резонансной кривой колебательного контура по напряжению (АЧХ). Она также имеет явно выраженный резонансный характер.

Отметим, что отношение напряжения на конденсаторе к амплитуде ЭДС достигает максимума на частоте < [2]: