Номер Общий стаж заработная

рсспон- работы/х), плата и,, руб. *J "i Vi

дейта лет '

1 20 190 400 36 100 3800

2 21 180 441 32 400 3780

3 2 130 4 16 900 260

4 18 160 324 25 600 2880

5 1 90 1 8 100 90

6 3 НО 9 12 10) 330

7 i i00 1 10 000 100

8 2 100 4 10 000 200

9 18 150 324 22 500 2700

10 28 220 784 48 400 6160

11 4 120 16 14 400 480

12 6 110 36 12 100 660

13 1 НО 1 12 100 110

14 15 200 225 40 000 3000

15 25 210 625 44100 5250

16 7 170 49 28 900 1190

17 21 160 441 25 600 3360

18 12 160 144 25 600 1Ш

19 14 120 196 14 400 1680

20 9 140 81 19 600 1260

21 13 130 169 16 900 1690

22 15 100 225 25 600 2400

23 19 200 361 40 000 3800

24 23 180 529 32 400 4140

25 10 120 100 14 400 1200

л = 25 2*i=³⁰⁸ 2"i ^{= 3720} 24 - ⁵⁴⁹⁰ 2"» ^{= 588 200} 2 ^{= 52 44}° J= 12,32 7= 1*8,80

ные) для выборки в 25 человек, а на рис. 9 эти численные данныз представлены в виде так называемой диаграммы рассеяния, или раз­броса. Вообще говоря, визуально не всегда можно определить, су­ществует или нет значимая взаимосвязь между рассматриваемыми признаками и насколько она значима, хотя очень часто уже на Диаграмме просматривается общая тенденция в изменении значе­ний признаков и направление связи между изучаемыми признаками. Уравнение регрессии. Статистическая зависимость одного или большего числа признаков от остальных выражается с помощью

уравнений регрессии. Рассмотрим две величины х и у,, такие, на­пример, как на рис. 9. Зафиксируем какое-либо значение пере­менной х, тогда у принимает целый ряд значений. Обозначим у среднюю величину этих зна'чений у при данном фиксированном: х. Уравнение, описывающее зависимость средней величины у_х от х, называется уравнением регрессии у по х:

y_x = F{x).

Аналогичным образом можно дать геометрическую интерпрета­цию регрессионному уравнению"

х„ = Ф(у).

Уравнение регрессии описывает числовое соотношение между величинами, выраженное в виде тенденции к возрастанию (или убыванию) одной переменной величины при возрастании (убыва­нии) другой. Эта тенденция проявляется на основе некоторого чис­ла наблюдений, когда из общей массы выделяются, контролируют­ся, измеряются главные, решающие факторы.

Характер связи взаимодействующих признаков отражается в ее форме. В этом отношении полезно различать линейную и нелиней­ную регрессии. На рис. 10, 11 приведены графики линейной и кри­волинейной форм линий регрессии и их диаграммы разброса для случая двух переменных величин.

Направление и плотность (теснота) линейной связи между дву­мя переменными измеряются с помощью коэффициента корреляции.

Меры взаимозависимости для интервального уровня измерения. Наиболее широко известной мерой связи служит коэффициент кор­реляций Пирсона (или, как его иногда называют, коэффициент кор­реляции, равный произведению моментов). Одно из важнейших предположений, на котором покоится использование коэффициента г, состоит в том, что регрессионные уравнения для изучаемых пере­менных имеют линейную форму²³, т. е.

y,=*y~+b_t(x-x) (18>

либо

Zy^x + btiy-lj), (19)

где у — среднее арифметическое для переменной у; х — среднее арифметическое для переменной х; bi и Ьг — некоторые коэффи­циенты.

Поскольку вычисление коэффициента корреляции и коэффици­ентов регрессии Ь, и Ь₂ проводится по схожим формулам, то, вы-

²⁵ В действительности эти регрессионные уравнения всегда являются лишь

попыткой аппроксимации существующей зависимости. ²' В нелинейном случае его разумнее рассматривать как показатель тенденции

и лишь отчасти как меру тесноты этой связи.

Рис. 9. Диаграмма рассеяния для распределения заработной платы к общего стажа работы

Ряс. 10. Линии регрессии для рас­пределения заработной платы и об­щего стажа работы

х — стаж работы, лет; у — заработная ллата, руб.

Рис. П. Линия регрессии криволи­нейной формы к диаграмма рассоя-лия

числяя г, получаем сразу же и приближенные регрессионные мо­дели ".

Выборочные коэффициенты регрессии и корреляции вычисляют-! ся по формулам

Здесь si — дисперсия признака х; si — дисперсия признака у. Be-i личина Sxy называется ковариацией хну.

•' Линия регрессии, которая «наилучшим» образом соответствует эмпириче­ским данным, находится с помощью так называемого метода наименьших квадратов, а именно так, чтобы сумма квадратов отклонений каждой точ­ки (на диаграмме разброса) от линии регрессии была минимальной.

Расчет г для несгруппированных данных. Для вычислительных целей эти выражения в случае песгруппированных данных можно переписать в следующем виде:

Рассчитаем коэффициент корреляции и коэффициенты регрессии для данных табл. 7:

, _ 25-52 440 —308-3720 _ 165 240 _ „ „„

¹~ 25-5490 — ЗОв* ~42i86~'^d' '
,__________ 165 240 _ 165 240 ^ _Q.p.

² ~ 25-588 200 — 3720» ~~ ЬС6 600 "" ' '

_{г==________} 165240__ ₀₈₆

42 386-866 600 ~"'^ои-

Тогда уравнение регрессии имеет вид 0 = 148,8 + 3,9(^-12,3), х = 12,3 + 0,19(0 -148,8).

Линии регрессии у = Fix) изображены на рис. 10. Отсюда вид­но, что между заработной платой и общим стажем работы сущест­вует прямая зависимость: по мере увеличения общего стажа рабо­ты на предприятии растет и заработная плата. Величина коэффи­циента корреляции довольно большая и свидетельствует о положи­тельной связи между переменными величинами. Следует отметить, что вопрос о том, какую переменную в данном случае принимать в качестве зависимой величины, а какую — в качестве независимой, исследователь решает на основе качественного анализа и профес­сионального опыта. Коэффициент корреляции по определению яв­ляется симметричным показателем связи: г*, = г_ух- Область возмож­ного изменения коэффициента корреляции г лежит в пределах от +1 до —1.

Вычисление г для сгруппированных данных. Для сгруппирован­ных данных примем ширипу интервала по каждой переменной за единицу (если по какой-либо переменной имеются неодинаковые размеры интервала, то возьмем из них наименьший). Выберем так­же начало координат для каждой переменной где-нибудь возле среднего значения, оцененного на глаз.

Для условных данных, помещенных в табл. 8, за нулевую точ­ку отсчета выберем значение у, равное 64, а по х — значение 134,5.

Тогда коэффициент корреляции определяется по следующей фор­муле:

H i

2 2^па^вл-^лЬА

где a» — отклопепие от условной средней по признаку х; а, — откло- Таблица 8. Вычисление г по сгруппированным данным

нение от условной средней по признаку у; щ — частота наблюде­ний по клеткам таблицы;

А

21»л /» \/

Ъ_х = J-L.------; Ь_и = I 2, п_иаЛ п;

Для вышеприведенного примера порядок вычислений представлен

& 4

в табл. 9. Для определения 2 2 njja_xay вычислим последователь-

но все произведения частоты в каждой клетке таблицы на ее коор­динаты. Так

n_na_Xla_Vl= 6f(+2)(-l)] = -12,

«««.,«,,, = 20 [(+.1) (- 1)1 = - 20, "_г2в*_гау₂ = 24[(+1)(0)] = 0,

^fl.r₆gy₄= 7[(-2)(+2)I = -28

Подсчитаем К и b_y: Ь_х = -17/185 = -0,09; Ь„= 97/185 = 0,52. Опре­деляем s_x и s_B:

s_z = У173/185-(-0,09)^г = 0,90,

«„ = У207/185-(0,52)² = 0,92. В соответствии с формулой вычисляем — 129—185 (-0,09) -0,52 ₌ _ л 73

^{Г =} 185 • 0,96 • 0,92 ' '

Таким образом, величина связи достаточно велика, как, впрочем, я следовало ожидать на основе визуального анализа таблицы.

Статистическая значимость г. После вычисления коэффициента корреляции возникает вопрос, насколько показателен этот коэффи­циент и не обусловлена ли зависимость, которую он фиксирует, случайными отклонениями. Иначе говоря, необходимо проверить гипотезу о том, что полученное значение г значимо отличается от 0.

Если гипотеза Я_о (г = 0) будет отвергнута, говорят, что величи­на коэффициента корреляции статистически значима (т. е. эта ве­личина не обусловлена случайпостью) нри уровне значимости а.

Для Случая, когда п < 50, применяется критерий t, вычисляе­мый по формуле

t =*]/"-£>(»—2) df = n-2. (23)

Распределение t дано в табл. В приложения.

Если п > 50, то необходимо использовать Z-критерий

^г = Т7уЬ- <²⁴>

В табл. А приложения приведены значения величины Z_Kt для соот­ветствующих а.

Вычислим величину Z для коэффициента корреляции по табл. 7 (вычисление проделаем лишь для иллюстрации, так как число на­блюдений п = 25 и нужно применять критерий t). Величина г (см. табл. 7) равна 0,86. Тогда 0,86 _ _{& 0}

^z- 1/У2ГП -⁴-

Для уровня значимости а = 0,01 Z_Kf == 2,33 (см. табл. А прило­жения).

Поскольку. Z>Z_KP, мы должны копстатировать, что коэффици­ент корреляции г = 0,86 значим и лишь в 1% случаев может ока­заться равным нулю. Аналогичный результат дает и проверка по критерию t для а = 0,01 (односторонняя область); t_KV == 2,509, t вы­борочное равно 8,08.

Другой часто встречающейся задачей является проверка равен­ства па значимом уровне двух коэффициентов корреляции. Н„: г, = = г₂ при заданном уровне а, т. е. различия между г, и г_г обуслов­лены лишь колебаниями выборочной совокупности.

Критерий для проверки значимости следующий;

Z = ----- ^ггх~^гг_{г (25)}

,// < у,/ ' у ^;

где значения z_rj и г_Г2 находят по табл. Д приложения для r_t и г₂.

Значения 2_ир определяют по табл. А приложения аналогично выше­приведенному примеру.

Частная и множественная регрессия и корреляция. Ранее памп было показано, как можно по опытным данным найти зависимость одной переменной от другой, а именно как построить уравнение регрессии вида у = а + Ьх. Если исследователь изучает влияние не­скольких переменных х,, х%,..., х_к на результатирующий признак у, то возникает необходимость в умении строить регрессионное урав­нение более общего вида, т. е.

y=a + b_ix_i + b₁x₁+,..., +b_kx_k, (26>

где a, b_t, b₂,,.., b_k — постоянные коэффициенты, коэффициенты регрессии.

В связи с уравнением (26) необходимо рассмотреть следующие вопросы: а) как по эмпирическим данным вычислить коэффициенты регрессии а, Ь,, Ь_г,..., b_h; б) какую интерпретацию можпо припи­сать этим коэффициентам; в) оценить тесноту связи между у и каждым из x_t в отдельности (при элиминировании действия осталь­ных); г) оценить тесноту связи между у и всеми переменными Xi,..., Хк в совокупности.

Рассмотрим этот вопрос па примере построепия двухфакторного регрессионного уравнения. Предположим, что изучается зависимость недельного бюджета свободного времени (у) от уровня образования (х,) и возраста (х₂) определенной группы трудящихся по данным выборочного обследования. Будем искать эту зависимость в виде-линейного уравнения следующего вида:

у = а + b_tXt + Ь_гх_г.

При расчете коэффициентов уравнения множествеппой регрессии полезно преобразовать исходные эмпирические данные следующим образом. Пусть в результате обследования п человек получены эм­пирические значения, сведенные в следующую таблицу (в каждом столбце представлены несгруппированные данные):

Номер респондента у х, х,

1 Ji х_п x_iL

2 у z г,_а х_п

^п Уп ^хш ^хгп
Среднее по столбцу у х₁ х_г
Среднее квадратическое от­
клонение s_y s_t s₂

Каждое значение переменной в таблице преобразуем по формулам

*U-*t. „. ^vi-~^y
z^-^—, Vi------- —.

Это преобразование называется нормированием переменных. В ре­зультате искомое регрессионное уравнение примет вид

У = C,Zi + C»Zj.

Коэффициенты с₄ и с_г находятся по следующим формулам; •

^r4-Vi.. (27)

¹ - ^ri*

_Са = ^Г«>-^Г11^Г1». (28)

с, и с₂ называются стандартизированными коэффициентами регрес­сии. Следовательно, зная коэффициенты корреляции между изучае­мыми признаками, можно подсчитать коэффициенты регрессии. Подставим конкретные значения t_it из следующей таблицы":

у 1 0,556 —0,131

x_L 1 —0,027

х_% 1

Среднее 31,6 9,0 30,2

Среднее квадратическое от­
клонение 16,5 2,9 11,5

Тогда

_ 0,556- (-0,131) (-0,027) _ ₀ „

Аналогично с_г = —0,12, и уравнение регрессии запишется в виде у = 0,55z_t - 0,12z₂.

Коэффициенты исходного регрессионного уравнения b₀, b_t и Ъ_г на­ходятся по формулам

h = *i &У (29)

Ь, = с₂(^-\; (30)

Ь_о = у — b_lx_l — Ь_гх_г.

^1Ь Численные данные взяты из книги «Методика и техника статистической обработки первичной социологической информации» (М., 1968, с, 182),

Подставляя сюда данные из вышеприведенной таблицы, получим

b, = 3,13; 6₂ = —0,17; Ь, = 8,56.

Как же следует интерпретировать это уравнение? Например, Значение b₂ показывает, что в среднем недельный бюджет свобод­ного времени при увеличении возраста на один год и при фиксиро­ванном признаке x_t уменьшается на 0,17 час. Аналогично интер­претируется b_t. (Исходные эмпирические данные можно изобразить на диаграмме рассеяния аналогично тому, как это сделано на рис. 10, но уже в трехмерном пространстве ly, x_t, х_г).)

Коэффициенты b_t, 6₂ можно в то же время рассматривать и как показатели тесноты связи между неременными у и, например, xi при постоянстве Хг.

Аналогичную интерпретацию можно применять и к стандарти­зированным коэффициентам регрессии с₍. Однако поскольку с₍ вы­числяются исходя из нормированных переменных, они являются безразмерными и позволяют сравнивать тесноту связи между пере­менными, измеряемыми в различных единицах. Например, в выше­приведенном примере Xi измеряется в классах, ах» — в годах.

c, и С] позволяют сравнить, насколько z» теснее связан с у,
чем х_г".

Поскольку коэффициенты Ь< и с< измеряют частную односторон­нюю связь, возникает необходимость иметь показатель, характери­зующий связь в обоих направлениях. Таким показателем является частный коэффициент корреляции

_г —Vh---- А--- ^ryl ~ ^гуггц

Для рассматриваемого примера г_у1_ _х = 0,558, r_n. _f = —0,140.

Для любых трех переменных х_и х_г, х, частный коэффициент корреляции между двумя из них при элиминировании третьей стро­ится следующий образом:

,_____________ ^ri2 ~ ^Г1з^газ_________________________________________ /ол\

/(1-гЬ)(1-гЬ)

Аналогично можно определить и частные коэффициенты корре­ляции для большего числа переменных (г₁₂, и..»). Однако ввиду громоздкости вычисления они применяются достаточно редко.

Для характеристики степени связи результатирующего признака у с совокупностью независимых переменных служит множествен­ный коэффициент корреляции R^%_v(i...hh который вычисляется по формуле (иногда он выражается в процентах)

1 -Кх... *>=(!-r»i)(l -г,¹, ^...(i -r^._M..._(ft_,)). (32)

* Стандартизированные коэффициенты регрессии с< находят также широкое применение при интерпретации так называемых причинных диаграмм. (См.: Статистические методы анализа информации в социологических ис­следованиях. М., 1979, гл, 15),

Так, для вышеприведенного примера он равен

Фив =1 - (1 - U) (1 - г*,.,) = 1 - (1 - 0,556') (1 - 0,140*) = = 0,323 (нли ~32%).

Множественный коэффициент корреляции показывает, что включе­ние признаков х, и х₂ в уравнение

j/ = 8,35 + 3,14x_l-0,166a:_l

на 32% объясняет изменчивость результатирующего фактора. Чем больше /?i, тем полнее независимые переменные х,,..., х_к описы­вают признак у. Обычно R служит критерием включения или ис­ключения новой переменной в регрессионное уравнение. Если R мало изменяется при включении новой переменной в уравнение, то такая переменная отбрасывается.

Корреляционное отношение. Наиболее общим показателем связи при любой форме зависимости между переменными является корре­ляционное отношение г\^г. Корреляционное отношение т\у/х опреде­ляется через отношение межгрупповой -дисперсии к общей диспер­сии по признаку у:

_* 2 "vi (Hi ~ уУ

ч!*—^т⁵*-—т*----------------- г (33)

2 ".,(*-•*)'

где у~( — среднее значение i-ro у-сечения (средпее призпака у для объектов, у которых х = х,, т. е. столбец «Ы; х_{ — среднее значе­ние i-ro аг-сечения (т. е. строка «i»); n_Vi —число наблюдений в у- сечении; п_Х{ — число наблюдений в х-сечении; у — среднее зна­чение у.

Величина т)*/_х показывает, какая доля изменчивости значепий у обусловлена изменением значения х. В отличие от коэффициента корреляции %/х не является симметричным показателем связи, т. е. tjJ/k ф f\x/_u. Аналогично определяется корреляционное отношение х но у ".

Пример. По данным таблицы сопряженности (табл. 9) най­дем tiJ5/_x.

Вычислим общую среднюю

- 38 ■ 15 + 12 • 25 .-,
У =---------- go--------- = 17,4.

Тогда

«_ 10 (21 - 17,4)³ + 28 (15- 17,4)' + 12 (20- 17,4)' л /<
^^v/x ~ 3S \ 15 — 17,4)² + 12 (25 — 17,4) '

Сравнение статистических показателей г и ц¹. Приведем срав-

²⁷ Другие более сложные примеры вычисления t)² см.: Статистические методы аиализа информации в социологических исследованиях, с. 102.

пительную характеристику коэффициента корреляции (будем срав­нивать г*) и корреляционного отношения ц¹:

а) г* = 0, если х и у независимы (обратное утверждение не­
верно);

б) г² = Tj*/_X = 1 тогда и только тогда, когда имеется строгая ли­
нейная функциональная зависимость у от х;

в) г² = х\ 1/х < 1 тогда и только тогда, когда регрессия хну стро-
то линейна, но нет функциональной зависимости;

г) г² < г\х/у <Z 1 указывает на то, что нет функциональной зави­
симости и существует нелинейная кривая регрессии.

Таблица 9. Вычисление т)¹

Середина ин­тервала и	Середина интервала х	п
15 25	4 6	28 0	в в	38 12
\	10 21	28 15	12 20

Середина интервала х.

Середина ин- ^рт" i _n

тервала и_{{ _______________________________________________________________________________} х_{

10 20 | 30

В 38

В 12

п_у (0 28 12

7_t 21 15 20 50

Коэффициенты взаимозависимости для порядкового уровня из­мерения. К этой группе относятся коэффициенты ранговой корреля­ции Спирмена г„ Кендалла т и f. Коэффициенты ранговой корре­ляции используются для измерения взаимозависимости между ка­чественными признаками, значения которых могут быть упорядоче-иы или проранжированы по степени убывания (или нарастания) данпого качества у исследуемых социальных объектов.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена г.. Этот коэффи­циент вычисляется по следующей формуле:

тде d_i = i — k_l — разность между i-ми парами рангов; I — число со­поставляемых пар рангов. Величина г, может изменяться в преде­лах от +1 до —1, когда два ряда проранжировапы в одном поряд­ке. При полном взаимном беспорядочном расположении рангов г, равен нулю.

Пример. По данным табл. 10 выясним, в какой степени связаны жизненные планы детей, отличающихся по социальному происхож­дению. Для этого проранжируем значения процентных распределе­ний для каждой из двух групп детей.

В графе «из крестьян» (табл. 10) встречаются два одинаковых числа (51, 0). В подобных случаях обоим числам присваивают ранг,

равный среднему арифметическому из этих рангов, т. е. (3 + 4)/2 =
= 3,5. Подставляя промежуточные величины, вычисленные в
табл. 10, в формулу (34), находим²*
, 6-8,50 _{Q Q}

Такую величину г, можно интерпретировать как высокую сте­пень связи между жизненными планами детей рабочих и крестьян. Однако большая величина г, не должна скрывать тот факт, что жизненные планы молодежи в табл. 10 распадаются на две груп­пы. Для одной группы (нижняя часть таблицы) ранги полностью совпадают, а для другой (верхняя часть) — нет.

Таблица 10 •

Жизненные планы	Социальное про­исхождение	Ранг I	Ранг II
из рабо­чих	иа крестьян
Получить высшее образование	57,5	51,0		3,5	-2,5	6,25
Получить интересную любимую работу Побывать в других странах	57,3	59,0
53,8	52,0
Создать себе хорошие жилищные условия	49,7	51,0		3,5	0,5	0,25
Добиться хорошего материального обеспечения	48,5	50,0
Повысить свою квалификацию	42,0	45,0
Получить среднее образование	22,6	32,0
Доехать на одну из новостроек	19,4	25,0

Социальное про­исхождение

Жизненные плавы ------------------------ Ранг I i/^{Br d}f <*'