2015-04-20
3533
Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 2.1.Выучите определение производной функции в точке. Изучите таблицу «Формулы дифференцирования». Запомните правила дифференцирования функций.
& 2.2. Прочитайте о нахождении производной функции в точке.
? 2.3. Найдите производную функции в указанной точке:
а) 
, 
;
б) 
, 
.
& 2.4. Выучите определение и формулу дифференциала функции.
? 2.5. Найдите дифференциал функции:
а) 
;
б) 
.
! 2.6. Найдите нули производной исходной функции: 
.
Методические указания по выполнению работы:
Необходимый теоретический материал:
 или  . |
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции 
есть некоторая функция 
, производная из данной функции. Значение производной функции 
в точке 
обозначается одним из символов: 
или 
.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала 
, называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Для нахождения производных основных элементарных функций будем использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».
Формулы дифференцирования:
| 1. (ex)' = ex 2. (ax)' = ax lna 3. (ln x)' =  4. (logax)' = 
|
Нахождениепроизводной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. Мы будем использовать ряд правил, называемых правилами дифференцирования.
Пусть u(х) и v(х) – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы правила:
1. (cu)' = c u'
- (u ± v)' = u' ±v'
- (u∙v)' = u'v + v'u
-
Пример 1. Найдите производную функции 
.
Решение: Для вычисления производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':
.
Постоянный множитель можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = c u'.
Следовательно, 
.
Обратимся к формулам производных:
= 
.
Ответ: .
Пример 2. Найдите производную функции 
.
Решение. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:
= 
= 
.
Ответ: 
.
Пример 2. Найдите производную функции 
в точке 
Решение. Воспользуемся правилом :
= 
=
= 
.
Для нахождения производной функции в точке в полученное выражение вместо аргумента подставим указанную точку.
Ответ: 
.
Дифференциалом функции 
в точке 
называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается 
(или 
): 
. Поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: 
, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной: 
Пример 4. Найдите дифференциал функции 
.
Решение. По формуле 
:
.
Ответ: 
.
Список литературы:
1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010.-Глава 7, §2, стр. 94-95; §3, стр. 95-98.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 33, стр. 205-210; § 36, стр.215-217; § 44, стр.240-245.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §4, стр. 208– 228; §6, стр. 245– 247.
