2014-02-12
782
Мультиколлинеарности.
Множественная регрессия.
Множественная регрессия
Коэффициент эластичности
Линейная зависимость.
Криволинейная зависимость (парная регрессия).
1)Уравнение параболы второго порядка:
2) Уравнение гиперболы:
Построение моделей множеств регрессии состоит из следующих этапов:
1) выбор формы связи (уравнения регрессии);
2) отбор факторных признаков;
3) обеспечение достаточного объема совокупности для получения несмещенных оценок.
Выбор уравнения регрессии затрудняется тем, что, используя математический аппарат, теоретически зависимость между признаками может быть выражена большим числом разных функций.
Более приемлемым способом определения вида исходного уравнения является метод перебора разных уравнений.
Все реальные зависимости можно описать, используя следующие
5 типов моделей [5]:
1) линейная:
2) степенная:
3) показательная:
4) параболическая:
5) гиперболическая:
Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии является линейное уравнение с двумя неизвестными переменными:
|
|
|
Параметры уравнения множественной регрессии определяются методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:
.
Параметры уравнения множественной регрессии показывают изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу. Для оценки влияния факторных признаков на результативный рассчитываются частные коэффициенты эластичности и бета-коэффициенты.
Параметры уравнения регрессии можно определять по формулам через коэффициенты корреляции и средние квадратические отклонения:
Парные коэффициенты корреляции можно вычислить по следующим формулам:
Средние квадратические отклонения определяются по формулам:
Важным вопросом построения уравнения множественной регрессии является отбор наиболее важных факторов из множества факторов.
Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ).
Наличие мультиколлинеарности между признаками приводит к:
Одним из индикаторов определения наличия мультиколлинеарности между признаками является
Устранение мультиколлинеарности
1. Методы измерения тесноты корреляционной связи между двумя признаками.
А) При линейной зависимости измеряется при помощи
а ) линейного коэффициента корреляции:
Если вычислен коэффициент регрессии 
, то
Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах: 
. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции см. в таблице:
|
|
|
| Значение линейного коэффициента связи | Характер связи | Интерпретация связи |
| Отсутствует | - |
| Прямая | С увеличением 
увеличивается 
|
| Обратная | С увеличением
уменьшается  и наоборот
|
| функциональная | Каждому значению факторного признака соответствует одно значение результативного признака. |
Оценка линейного коэффициента корреляции
б) при криволинейной зависимости вычисляется с помощью корреляционного
отношения:
Б) При линейной и криволинейной зависимости теснота связи между результативным и факторным признаками определяется при помощи:
а) теоретического корреляционного отношения
б ) показатель детерминации:
в) индекс корреляции:
Проверка адекватности однофакторной регрессионной модели и значимости показателей тесноты корреляционной связи.
Адекватность регрессионной модели при малой выборке можно оценить
критерием Фишера:
Значимость коэффициентов линейного уравнени регрессии  и  оценивается с
помощью t-критерия Стьюдента  :
Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции r с помощью
t- критерия,который определяется по формуле:
Задача: Имеются выборочные данные по 10 однородным предприятиям:
| |||||
| № предприятия | Фондовооруженность труда на одного рабочего, тыс.руб. | Выпуск готовой продукции на одного рабочего, т | |||
| 1. | |||||
| 2. | |||||
| 3. | |||||
| 4. | |||||
| 5. | |||||
| 6. | |||||
| 7. | |||||
| 8. | |||||
| 9. | |||||
| 10. | |||||
Постройте однофакторную регрессионную модель и проверьте ее на адекватность.
Решение:
| 2. Методы измерения тесноты корреляционной связи в многофакторных моделях При проведении многофакторного корреляционного анализа возникает необходимость расчета множественных, парных и частных коэффициентов корреляции. Для измерения тесноты корреляционной связи между результативным признаком и несколькими факторными при линейной форме связи рассчитывается множественный коэффициент корреляции по формуле: Множественный коэффициенткорреляции изменяется от 0 до +1, он показывает тесноту корреляционной связи между результативным признаком и факторными признаками, включенными в уравнение множественной регрессии. Парные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам: Парные коэффициенты корреляциипоказывают тесноту корреляционной связи как между факторными и результативными признаками, так и между признаками-факторами. Для исследования тесноты корреляционной связи между признаками при построении моделей множественной регрессии применяются частные (парные) коэффициенты корреляции,которые характеризуют тесноту корреляционной связи между факторными и результативным признаками, при элиминировании влияния учтенных факторов. Частные коэффициенты корреляции вычисляются по формулам: Теоретическое корреляционное отношение и совокупный индекс корреляции. Эти показатели имеют такой же экономический смысл, что и при парной регрессии, и определяются по формулам: Вместо теоретического корреляционного отношения может быть использован адекватный ему показатель – совокупный индекс корреляции: Проверка адекватности многофакторной регрессионной модели Построенное уравнение множественной регрессии необходимо содержательно интерпретировать и оценивать его с точки зрения адекватности реальной действительности. Для оценки адекватности модели можно вычислить отклонение теоретических данных от эмпирических, остаточную дисперсию, а также ошибку аппроксимации, которая определяется по формуле: Особое внимание необходимо обратить на интерпретацию и оценку параметров уравнения. Параметры уравнения регрессии следует проверить на их значимость. Для оценки значимости параметров при малых выборках уравнения множественной регрессии используются t-критерий Стьюдента при (n – m - 1) степенях свободы: Адекватность уравнения регрессии оценивается с помощью F-критерия Фишера, который определяется по формуле: Существенность совокупного коэффициента корреляции также оценивается с помощью t-критерия Стьюдента: 9.6. Непараметрические показатели связи Коэффициент Фехнера Коэффициент Спирмена Коэффициент конкордации Коэффициенты ассоциации и контингенции | |
Тема: 10.Экономические индексы
10.1. Понятие экономических индексов и их классификация
10.2. Индивидуальные индексы
10.3. Агрегатные индексы
10.4. Средние индексы
10.5.Система базисных и цепных индексов. Индексы с постоянными и переменными весами
10.6. Индексы по составу явления
10.7. Территориальные индексы
10.8. Индексы Ласпейреса, Пааше и Фишера
10.9. Изучение взаимосвязи экономических индексов
10.1. Понятие экономических индексов и их классификация.
Индекс
Классификация индексов:
· - По степени охвата явления
·
· По базе сравнения выделяют
· По виду весов различают
· В зависимости от формы построения
· По характеру объекта исследования
· По составу явления выделяют
· По периоду исчисления
Основные обозначения:
· 10.2. Индивидуальные индексы
Индивидуальные индексы
Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления. В зависимости от экономического назначения индивидуальные индексы бывают: физического объема продукции, себестоимости, цен, трудоемкости и т.д.
Индекс физического объема продукции:
показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) выпуск какого-либо одного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным, или сколько процентов составляет.
Индивидуальный индекс цен:
характеризует изменение цены одного определенного товара в текущем периоде по сравнению с базисным.
Индивидуальный индекс себестоимости единицы продукции:
показывает изменение себестоимости единицы продукции.
Общие индексы строят для количественных (объемных) и качественных показателей. В зависимости от цели исследования и наличия исходных данных используют различные формы построения общих индексов: агрегатная или средневзвешенная.
10.3. Агрегатные индексы.
Агрегатный индекс
Особенность этой формы индекса состоит в том, что непосредственно сравниваются две суммы одноименных показателей.
Индексируемая величина
Вес индекса
При выборе веса индекса следует руководствоваться правилом:
Индекс стоимости продукции (товарооборота) ( ) - представляет собой отношение стоимости продукции текущего периода к стоимости продукции в базисном периоде. Стоимость продукции – это произведение количества продукции в натуральном выражении (q) на цену (p).
Показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции отчетного периода по сравнению с базисным, или сколько процентов составляет.
Индекс физического объема продукции – это индекс количественного показателя. Индексируемой величиной будет количество продукции, а весом – цена.
показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции из-за изменения объемов ее производства.
Разность числителя и знаменателя ( ) показывает, на сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате изменения объема.
Индекс цен – это индекс качественного показателя. Индексируемой величиной будет цена товара, т.к. этот индекс характеризует изменение цен. Весом будет выступать количество произведенного товаров.
в числителе – фактическая стоимость продукции текущего периода, а в знаменателе – условная стоимость тех же товаров ценах базисного периода. Показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции из-за изменения цен. Разность числителя и знаменателя – на сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (снижения) цен.
Стоимость продукции можно представить как произведение количества товара на его цену. Точно такая же связьсуществует и между индексами стоимости, физического объема и цен, т.е.
Разность числителя и знаменателя каждого индекса-сомножителя выражает размер изменения общей абсолютной величины под влиянием изменения одного фактора.
Все виды общих индексов в агрегатной форме представлены в табл. 10.1.
10.4. Средние индексы.
Средний индекс
При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.
Арифметическая форма индекса используется сводных индексов количественных показателей, а гармоническая форма индекса – для расчета сводных индексов качественных показателей.
Например, средний арифметический индекс объема продукции вычисляется:
Средний гармонический индекс себестоимости можно исчислить так:
.
Индекс цен:
Индекс Доу-Джонса
Индекс Стэндарда и Пура (Standart and Poor's 500 Stock Index)
Система базисных и цепных индексов.
Индексы с постоянными и переменными весами.
Системой индексов
Система базисных индексов
Система цепных индексов
Система индексов стоимости имеет следующий вид:
· цепные индексы
· базисные индексы
Системой индексов с постоянными весами
Эти индексы строятся, как правило, для количественных показателей (например, индекс физического объема):
· базисные индексы
· цепные индексы
Система индексов с переменными весами
Поэтому эти индексы строятся, как правило, для качественных показателей (например, индекс цен):
· базисные индексы
· цепные индексы
Связь между цепными и базисными индексами
10.6. Индексы по составу явления
Изменение средней величины показателя зависит от двух факторов – изменения значения индексируемого показателя у отдельных единиц и изменения структуры явления.
Изменение структуры – это изменение доли отдельных групп единиц совокупности в общей их численности.
Индекс переменного состава – индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся в разным периодам времени. Например, индекс переменного состава стоимости продукции:
Отражает изменение не только изменение индексируемой величины (в данном случае, цены единицы продукции), но и структуры совокупности весов (объем).
Индекс постоянного состава – это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого-либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Например, индекс фиксированного состава стоимости продукции:
Индекс структурных сдвигов – индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления:
Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики средней цены имеет следующий вид:
10.7. Территориальные индексы
При построении территориальных индексов приходится решать вопрос, какие веса использовались при их исчислении. При сравнении цен двух стран (А и В) можно построить два индекса:
Формула Эджворта (индекс со стандартными весами):
10.8. Индексы Ласпейреса, Пааше и Фишера
В рыночном хозяйстве особое место уделяется индексу цен (оценка динамики цен, общий измеритель инфляции при макроэкономических исследованиях, установленных ставок налогов). До начала 90-х годов XX века отечественная статистика отдавала предпочтение индексу Пааше. Сложность его расчета заключается в том, что взвешивание по весам отчетного периода требует текущего сбора и обработки значительных объемов информации для формирования системы весов. Это связано с большими затратами различных видов ресурсов. Поэтому, начиная с 1991г. отечественная статистика определяет индекс цен по формуле Ласпейреса, которой отдается предпочтение и в зарубежной статистике.
Основным назначением индекса цен является оценка динамики цен на товары производственного и непроизводственного потребления. В практике статистике используются два основных вида формул индекса цен. Это формулы Ласпейреса и Пааше.
|
| Наименование индекса | Формула индекса | |
| Ласпейреса (с базисными весами) | Пааше (с отчетными весами) | |
| Индекс физического объема | ||
| Индекс цен |
Индекс цен, исчисленный по формуле Пааше показывает, на сколько товары в отчетном периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном. Индекс цен Ласпейреса показывает, во сколько бы раз товары базисного периода подрожали (подешевели) из-за изменения цен на них в отчетном. Согласно практике индекс цен Пааше имеет тенденцию некоторого занижения, а индекс цен Ласпейреса – тенденцию некоторого завышения. Индекс Пааше численно должен быть меньше индекса Ласпейреса.
Для определения более реального изменения цен можно использовать формулу идеального индекса Фишера, который представляет собой среднюю геометрическую из индексов Пааше и Ласпейреса:
Геометрическая форма индекса имеет один недостаток – она лишена конкретного экономического содержания. Аналогичным образом, формула Фишера используется и при анализе физического объема.
В силу сложности экономической интерпретации, индекс Фишера на практике используется крайне редко. Чаще всего он применяется при исчислении индексов цен за длительный период времени, для сглаживания тенденций в структуре и составе объема продукции, в которых происходят значительные изменения.
Формулы Ласпейреса и Пааше являются расчетными для исчисления индекса потребительских цен и индекса-дефлятора.
10.9.Изучение взаимосвязи экономических индексов
Между важнейшими индексами существует взаимосвязь, позволяющая на основе одних индексов получить другие. Например:
Но существует еще взаимосвязь между важнейшими экономическими индексами, позволяющая выявить влияние различных факторов на изменение изучаемого явления.
Т.е. если три признака связаны зависимостью вида Y=X´Z, то можно говорить о том, что значение результативного признака Y определяется значениями факторных признаков X и Z; изменение каждого из которых повлечет за собой изменение признака Y.
Например, имеются следующие данные. Постройте мультипликативную модель и сделайте анализ.
Решение:
Взаимосвязь между показателями (мультипликативная модель): Вследствие увеличения численности работников при прежнем уровне производительности труда объем произведенной продукции вырос на 1,7%, т.е. на 0,05 млн. руб. В результате повышения производительности труда при прежнем уровне численности работников объем произведенной продукции повышается на 4,9% или на 0,15 млн. руб. Общее изменение объема произведенной продукции: Правило: |
Таблица 10.1.
Основные формулы исчисления сводных или общих индексов
| Наименование индекса | Формула | Что показывает индекс | Что показывает значение индекса, уменьшенное на 100% | Что показывает разность числителя и знаменателя |
| Индекс физического объема продукции (по цене) | 
| Во сколько раз изменилась стоимость продукции в результате изменения объема ее производства, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции из-за изменения ее физического объема | На сколько процентов изменилась стоимость продукции в результате изменения объема ее производства | На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) объема ее производства |
| Индекс цен | 
| Во сколько раз изменилась стоимость продукции в результате изменения цен, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции из-за изменения цен | На сколько процентов изменилась стоимость продукции в результате изменения цен | На сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) цен |
| Индекс стоимости продукции (товарооборота) | 
| Во сколько раз изменилась стоимость продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции в текущем периоде по сравнению с базисным | На сколько процентов изменилась стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным | На сколько рублей изменилась стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным |
| Индекс физического объема продукции (по себестоимости) | 
| Во сколько раз изменились издержки производства продукции в результате изменения объема ее производства, или сколько процентов составил рост (снижение) издержек производства продукции из-за изменения объема ее производства | На сколько процентов изменились издержки производства продукции в результате изменения объема ее производства | На сколько рублей изменились издержки производства продукции в результате изменения объема ее производства |
| Индекс себестоимости продукции | 
| Во сколько раз изменились издержки производства продукции в результате изменения себестоимости продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) издержек производства продукции из-за изменения себестоимости продукции | На сколько процентов изменились издержки производства продукции в результате изменения себестоимости продукции | На сколько рублей изменились издержки производства продукции в результате изменения себестоимости продукции |
| Индекс издержек производства | 
| Во сколько раз изменились издержки производства продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) издержек производства продукции в текущем периоде по сравнению с базисным | На сколько процентов изменились издержки производства продукции в текущем периоде по сравнению с базисным | На сколько рублей изменились издержки производства продукции в текущем периоде по сравнению с базисным |
Продолжение таблицы 10.1 ..
| Индекс физического объема продукции (по трудоемкости) | 
| Во сколько раз изменились затраты времени на производство продукции в результате изменения объема ее производства, или сколько процентов составил рост (снижение) затрат времени на производство продукции из-за изменения ее физического объема | На сколько процентов изменились затраты времени на производство продукции в результате изменения объема ее производства | На сколько человеко-часов изменились затраты времени на производство продукции в результате роста (уменьшения) объема ее производства |
| Индекс трудоемкости | 
| Во сколько раз изменились затраты времени на производство продукции в результате изменения ее трудоемкости, или сколько процентов составил рост (снижение) затрат времени на производство продукции из-за изменения ее трудоемкости | На сколько процентов изменились затраты времени на производство продукции в результате изменения ее трудоемкости | На сколько человеко-часов изменились затраты времени на производство продукции в результате роста (уменьшения) ее трудоемкости |
| Индекс затрат времени на производство продукции | 
| Во сколько раз изменились затраты времени на производство продукции, или сколько процентов составил рост (снижение) стоимости продукции в текущем периоде по сравнению с базисным | На сколько процентов изменились затраты времени на производство продукции в текущем периоде по сравнению с базисным | На сколько человеко-часов изменились затраты времени на производство продукции в текущем периоде по сравнению с базисным |
