Корреляционно-регрессионный анализ

Количественные критерии оценки тесноты связи Таблица 1

Порядок изучения статистической связи. Классификация связей в статистике.

Важная задача статистики состоит в выявлении существующих связей между явлениями. Социально-экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа факторов. При изучении эти явлений необходимо выявить основные факторы и абстрагироваться (не принимать во внимание) от второстепенных.

Рассматривая зависимости между признаками, выделяют две категории связи функциональную и стохастическую.

Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Например, функциональной является зависимость длины окружности или площади круга от радиуса. Модель функциональной связи может быть представлена как Y=f(X). На практике такие связи встречаются в математических формула, а также при расчете сдельной оплаты труда, (если принять за у оплату труда, а за х кол-во изготовленных изделий и учесть, что за каждое изделие оплата 5 руб, то тогда оплата труда выражается зависимостью y=5*x. Такие зависимости называются жестко детерминированными.

В действительности же взаимосвязи в социально-экономических явлениях значительно сложнее, они многофакторные и не носят функционального характера. Поэтому статистикой изучаются стохастические связи. Стохастическая связь- это такая связь между признаками, при которой для каждого значения признака фактора Х признак-результат Y может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями, при этом его статистические характеристики (например, среднее значение) изменяется по определенному закону.

Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде уравнение Y=f(X, u), где Y-фактическое значение результативного признака;

f(X) –часть результативного признака, сформировавшегося под воздействием фактора X или нескольких факторов X₁, X₂ …X_n;

f(u) - случайная составляющая, часть результативного признака, которая возникла вследствие влияния прочих факторов, а также ошибок измерения признаков.

Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь. Это такая связь, при которой с изменением значения признака X закономерно изменяется среднее значение признака Y, в то время как в каждом отдельном случае признак Y с определенной вероятностью может принимать множество различных значений.

Модель корреляционной связи: E(Y/X_1, X₂, … X_m)=f(X_1, X₂, … X_m), Где m – множество факторов, Е - математическое ожидание.

Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, по направлению и аналитическому выражению.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи по шкале Чеддока.

Предварительная характеристика направления и тесноты связи между признаками может быть произведена с помощью непараметрических показателей связи: коэффициента Фехнера, коэффициентов корреляции рангов (Спирмена, Кендалла), коэффициента конкордации.

Коэффициент Фехнера Кф оценивает направление и тесноту связи на основе сравнения знаков отклонений значений результативного у и факторного х признаков от их средних арифметических:

где С — число совпадений знаков отклонений у от и х от по всем единицам изучаемой совокупности; Н — число случаев несовпадений знаков отклонений.

Рассчитаем коэффициент Фехнера для рассматриваемого примера. Сравним уровни заработной платы и производительности труда по всем работникам с их средними значениями: = 41280/24 = 1720 руб./чел., = 69600/24 = = 2900 руб./чел. Подсчитаем совпадение знаков отклонений по обоим признакам (табл. 2).

Взаимосвязь уровней производительности труда и заработной платы почтовых работников и расчетные величины для оценки тесноты связи между ними Таблица 2

Номер работ-ника	Производит. труда х, руб. чел.	Заработная плата у, руб.чел.	Знак отклонения от среднего уровня	Совпадения (несовпадение) знаков	Ранги	Разность рангов d	d2
		Rx	Ry
			-	-	C			-1
			-	-	C
			-	-	C
			-	-	C			-1
			-	-	C			-4
			-	-	C
			-	-	C
			-	-	C	8,5		2,5	6,25
			-	-	C	8,5		0,5	0,25
			-	-	C
			-	-	C
			-	+	Н
			+	-	Н
			+	+	С
			+	+	С			-1
			+	-	Н	16,5		3,5	12,25
			+	+	С	16,5		-0,5	0,25
			+	+	С
			+	+	С	19,5		4,5	20,25
			+	+	С	19,5		-0,5	0,25
			+	+	С
			+	+	С			-1
			+	+	С
			+	+	С
Итого			-	-	-	-	-	-	95,5

Коэффициент Фехнера для нашего примера равен 0,75[(21-3)/24]. Это дает основание считать, что между производительностью труда работников почтовой связи и их заработной платой существует достаточно тесная прямая связь.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) учитывает согласованность рангов, т.е. номеров или мест, которые занимают единицы совокупности по каждому из анализируемых признаков, и рассчитывается по формуле:

,

где п — количество единиц совокупности; d — разность рангов по признакам х и у.

Порядок сопоставления рангов факторного и результативного показателей таков: единицы совокупности ранжируются по факторному и результативному признакам и каждой единице присваивается номер (место) в упорядоченном ряду признаков. Если встречаются в ряду одинаковые варианты по результативному и факторному признакам, то каждой из них присваивается среднее арифметическое значение их рангов. Коэффициент корреляции рангов может принимать значения от —1 до+1.

В рассматриваемом примере работники почтовой связи ранжированы по возрастанию факторного признака — уровню производительности труда с 1-го по 24-й номер. При ранжировании почтовых работников трижды встретились одинаковые варианты: х = 2550 у работников, занимающих 8-е и 9-е места, х = 3170 у работников, занимающих 16-е и 17-е места, и х = 3600 у работников, занимающих 19-е и 20-е места по возрастанию производительности труда, поэтому им присвоены средние ранги: 8,5; 16,5 и 19,5.

Коэффициент корреляции рангов составил =, что подтверждает ранее полученный вывод о положительной тесной связи между признаками.

Достоинством непараметрических показателей связи является возможность их использования при анализе взаимосвязи социально-экономических явлений, не имеющих количественного выражения (атрибутивных признаков, например, зависимости заработной платы от уровня образования; от формы собственности предприятия - государственной, частной, кооперативной.

Для определения тесноты связи между произвольным числом признаков применяют множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации):

, где

m- количество факторов; n-число наблюдений; S-отклонения суммы квадратов суммы рангов по всем факторам от среднего квадрата суммы рангов.

Например, Произведем оценку взаимосвязи между уставным капиталом, количеством и ценой выставляемых на аукцион акций связи. Данные приведены в таблице.

S=3333-(165²/10)=3333-2722,5=610,5 W=

Величина коэффициента конкордации W свидетельствует о весьма тесной связи между размером организации, числом выставляемых акций и их ценой.

Для оценки тесноты связи между двумя признаками исчисляется эмпирическое корреляционное отношение =, где -межгрупповая дисперсия; -общая дисперсия.

²-коэффициент детерминации.

Если коэффициент детерминации >0,7, то связь между признаками достаточно тесная.

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (связь между явлениями приближенно выражена уравнением прямой линии) и нелинейные (криволинейные) (связь выражена уравнением кривой линии: гиперболы, параболы и др.)

Понятия «корреляция» и «регрессия» тесно связаны между собой. В корреляционном анализе оценивается сила связи и ее направление, а в регрессионном исследуется ее форма.

Простейшим приемом обнаружения связи является:

1) сопоставление двух параллельных рядов — ряда значений факторного признака и соответствующих ему значений результативного признака. Значения факторного признака располагают в возрастающем порядке и затем прослеживают направление изменения величины результативного признака. Результативный признак (функцию) в дальнейшем будем обозначать через у, а факторный признак — через х.

В тех случаях, когда с возрастанием факторного признака возрастает величина результативного признака, то можно говорить о наличии прямой корреляционной связи. Если же с увеличением факторного признака величина результативного признака уменьшается, то можно предполагать обратную связь между признаками.

Мы видим, что с увеличением величины х величина у также растет. Значит связь между признаками – прямая.

2) Метод группировок. Проводится группировка единиц совокупности по факторному признаку. Для каждой группы рассчитывается среднее значение результативного признака. Если факторный признак и среднее значение результативного признака изменяется в одном направлении, то связь прямая, если в разных – обратная, если нет закономерности, то связь отсутствует.

3) Статистическую связь между двумя признаками можно изобразить графически и по графику судить о наличие, о направлении и форме связи. При этом на оси абсцисс откладывают значение факторного признака, а по оси ординат – результативного.

. … …. …..