Екатеринбург. И уравнений математической физики

И уравнений математической физики

Вычислительных методов

Белоусова Вероника Игоревна

Подготовлено преподавателями кафедры

Оглавление

1. Лекционное занятие. Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства.. 3

1.1 Определение первообразной функции. 3

1.2 Свойства неопределенного интеграла. 6

1.3 Таблица неопределенных интегралов. 9

1.4 Непосредственное интегрирование с помощью табличных интегралов. 11

2. ЛЕКЦИОННОЕ ЗАНЯТИЕ. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 12

2.1 Метод подведения под знак дифференциала. 12

2.2 Метод замены переменной. 13

2.2Метод интегрирования по частям. 15

3. ЛЕКЦИОННОЕ ЗАНЯТИЕ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ.. 18

3.1 Интегрирование тригонометрических функций. 18

4. Лекционное занятие. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.. 23

Интегрирование дробно-рациональных функций. 25

Интегрирование по справочникам. 29

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. 30

5. ЛЕКЦИОННОЕ ЗАНЯТИЕ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ПРИЛОЖЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ. 31

5.1. Понятие интеграла по фигуре и его свойства. 31

Фигура и ее мера. 31

Задача о вычислении массы фигуры.. 31

Понятие интеграла по фигуре. 32

Конкретные виды интегралов по фигуре. 33

Свойства интеграла по фигуре. 35

1. Свойство линейности. 35

2. Свойство аддитивности. 35

3. О вычислении меры фигуры.. 36

5. Об оценке интеграла. 36

6. Об оценке модуля интеграла. 37

7. Теорема о среднем. 37

6. Лекционное занятие. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. 39

6.1 Площадь плоской фигуры.. 39

6.2 Объем тела вращения. 42

7. Лекционное занятие. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА 45

7.1. Двойной интеграл в прямоугольной системе. 48

8. ЛЕКЦИОННОЕ ЗАНЯТИЕ. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ.. 53

8.1 Вычисление двойных интегралов базируется на понятии повторного интеграла 53

8.2 Замена переменных в двойном интеграле. 55

8.3 Типовые примеры.. 57

1) Вычисление двойных интегралов. 57

2) Площадь плоской фигуры.. 57

3) Объем цилиндрического тела. 59

4) Механические приложения. 60

9. Лекционное занятие.ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ. 62

Двойной интеграл в полярных координатах. 65

10. ЛЕКЦИОННОЕ ЗАНЯТИЕ. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 70

10.1. Тройной интеграл в прямоугольной системе. 70

10.2 Тройной интеграл в криволинейной системе. 75

10.3 Тройной интеграл в цилиндрических координатах. 76

11.Лекционное занятие. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ.. 78

11.1 Поверхностный интеграл первого рода. 81

12. Лекционное занятие. ТЕОРИЯ СКАЛЯРНОГО И ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 86

12.1 Скалярное поле. 86

12.2 Производная поля по направлению.. 86

12.3 Свойства производной по направлению.. 87

12.4 Формула для вычисления производной по направлению.. 88

12.5 Градиент поля и его свойства. 88

12.6 Векторное поле и векторные линии. 91

13. Лекционное занятие. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.. 95

13.2. Понятие потока и формы его записи. 97

13.3. Вычисление потока. 98

14. Лекционное занятие. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ.. 104

14.1 Инвариантное определение дивергенции. 106

14.2 Физический смысл дивергенции. 107

14.3 Дифференциальные свойства дивергенции. 108

14.4 Линейный интеграл и циркуляция векторного поля. 109

Задача о работе силы.. 109

14.5. Понятие линейного интеграла и его свойства. 110

15. Лекционное занятие. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА.. 112

15.1. Формулы Грина и Стокса. Ротор поля. 114

15.2 Физический смысл ротора. 118

15.3 Инвариантное определение ротора. 119

15.4 Дифференциальные свойства ротора. 120

15.5. Условия независимости линейного интеграла от формы пути. 121

16. Лекционное занятие. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ. 126

Свойства потенциального поля. 126

Отыскание потенциала по выражению ....... 127

Отыскание потенциала по определению.. 128

Отыскание потенциала центрального поля ............... 129

17. Лекционное занятие. СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ. 131

17.1 Свойства соленоидального поля. 131

17.2 Отыскание векторного потенциала. 133

17.3. Гармонические поля. 136

17.3.1 Гармоническое скалярное поле. 136

17.3.2 Гармоническое векторное поле. 137

17.4 Повторные операции теории поля. 138

1. Лекционное занятие. Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства