Возникновение математики и развитие ее как науки

Лекция № 1

Раздел 1.Психолого-педагогические основы математического

Развития детей дошкольного возраста

Тема 1.1. Методика формирования элементарных математических представлений как научная область

ПЛАН

1. Значение и задачи математического развития детей дошкольного возраста.

2. Возникновение математики и развитие ее как науки.

3. Исторический обзор и современное состояние теории и технологий развития математических представлений у детей дошкольного возраста

4. Методика формирования элементарных математических представлений и другие науки.

5. Основные математические понятия.

6. Развитие понятия натурального числа.

Вопросы

1. Каково значение формирования у дошкольников ЭМП?

2. Раскройте содержание цели и задач МФЭМП.

3. Расскажите о развитии математики как науки.

 

Задания для самостоятельной работы

1.Заполнить таблицу основных математических понятий.

 

№ п/п	Понятие	Определение
1.	Множество
2.	Операции с множеством
3.	Счет
4.	Число
5.	Величина
6.	Измерение
7.	Время
8.	Пространство
9.	Цифра

 

2. Подготовить сообщение на тему: «Возникновение математики и развитее её как науки», «Виды письменной нумерации. Системы счисления» (по выбору студентов).

Список литературы

1. Щербакова, Е.И. Методика обучения математике в детском саду: Учебное пособие для студент. дошк. отделений и фак. сред. пед. учеб. заведений. – 2-е изд., стереотип. – М.: Академия, 2000. – 272 с.

ПРЕДМЕТ МЕТОДИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ДОШКОЛЬНИКОВ

Значение и задачи математического развития детей дошкольного возраста

 

Проблема обучения математике в современной жизни приобретает все большее значение. Это объясняется, прежде всего, бурным развитием математической науки и проникновением ее в различные области знаний.

Повышение уровня творческой активности, проблемы автоматизации производства, моделирования на электронно-вычислительных машинах и многое другое предполагает наличие у специалистов большинства современных профессий достаточно развитого умения четко и последовательно анализировать изучаемые процессы. Поэтому обучение в детском саду направлено, прежде всего, на воспитание у детей привычки полноценной логической аргументации окружающего. Опыт обучения свидетельствует о том, что развитию логического мышления дошкольников в наибольшей мере способствует изучение начальной математики. Для математического стиля мышления характерны четкость, краткость, расчлененность, точность и логичность мысли, умение пользоваться символикой. В связи с этим систематически перестраивается содержание обучения математике в школе и детском саду.

Естественно, что основой познания является сенсорное развитие, приобретаемое посредством опыта и наблюдений. В процессе чувственного познания формируются представления — образы предметов, их свойств, отношений.

Так, оперируя разнообразными множествами (предметами, игрушками, картинками, геометрическими фигурами), дети учатся устанавливать равенство и неравенство множеств, называть количество словами: «больше», «меньше», «поровну». Сравнение конкретных множеств подготавливает детей к усвоению в последующем понятия числа. Именно операции с множествами являются той основой, к которой обращаются дети не только в детском саду, но и на протяжении последующих лет обучения в школе. Представление о множестве формирует у детей основы понимания абстрактного числа, закономерностей натурального ряда чисел. Хотя понятия натурального числа, а также геометрической фигуры, величины, части и целого абстрактны, все-таки они отображают связи и отношения предметов окружающей действительности.

Доказано, что ознакомление детей с разными видами математической деятельности в процессе целенаправленного обучения ориентирует их на понимание связей и отношений. Формирование начальных математических знаний и умений у детей дошкольного возраста должно осуществляться так, чтобы обучение давало не только непосредственный практический результат (навыки счета, выполнение элементарных математических операций), но и широкий развивающий эффект. Под математическим развитием дошкольников, как правило, понимают качественные изменения в формах познавательной активности ребенка, которые происходят в результате формирования элементарных математических представлений и связанных с ними логических операций. Анализ научных исследований (А. М. Леушина, Н. И. Непомнящая, А. А. Столяр и др.), педагогического опыта убеждает в том, что рационально организованное обучение дошкольников математике обеспечивает общее умственное развитие детей. (Рационально организованное — это своевременное, соответствующее возрасту и интересам детей обучение.) При этом важное значение имеет педагогическое руководство со стороны взрослого (воспитателя или родителей). Дети приобретают элементарные знания о множестве, числе, величине и форме предметов, учатся ориентироваться во времени и пространстве. Они овладевают счетом и измерениями линейных и объемных объектов с помощью условных и общепринятых мер, устанавливают количественные отношения между величинами, целым и частями.

В математической подготовке детей, развитии элементарных математических представлений важную роль играет обучение измерению как начальному способу познания количественной характеристики окружающего. Это дает возможность дошкольникам прежде всего пользоваться не общепринятыми, а условными мерами при измерении сыпучих, жидких веществ и протяженностей. Одновременно у детей развивается глазомер, что весьма важно для их сенсорного развития.

В процессе систематического обучения математике дети овладевают специальной терминологией — названиями чисел, геометрических фигур (круг, квадрат, треугольник, ромб и др.), элементов фигур (сторона, вершина, основание) и т. п.

 Однако не рекомендуется в работе с детьми использовать такие слова-термины, как «натуральный рад», «совокупность», «структура», «элементы множества» и др. При этом работа не ограничивается только занятиями. Следует иметь в виду использование всего дидактического пространства в условиях образовательной ситуации.

Занятия по математике приобретают особое значение в связи с развитием у детей познавательных интересов, умений проявлять волевые усилия в процессе решения математических задач.

Как правило, учебные задачи на занятиях решаются в сочетании с воспитательными. Так, воспитатель учит детей быть организованными, самостоятельными, внимательно слушать, выполнять работу качественно и в срок. Это дисциплинирует детей, способствует формированию у них целенаправленности, организованности, ответственности. Таким образом, обучение детей математике с раннего возраста обеспечивает их всестороннее развитие.

Цель - формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста.

Задачи по формированию элементарных математических знаний и последующего математического развития детей:

· приобретение знаний о множестве, числе, величине, форме, пространстве и времени как основах математического развития;

· формирование широкой начальной ориентации в количественных, пространственных и временных отношениях окружающей действительности;

· формирование навыков и умений в счете, вычислениях, измерении, моделировании, общеучебных умений;

· овладение математической терминологией;

· развитие познавательных интересов и способностей, логического мышления, общее интеллектуальное развитие ребенка.

Эти задачи чаще всего решаются воспитателем одновременно на каждом занятии по математике, а также в процессе организации разных видов самостоятельной детской деятельности. Многочисленные психолого-педагогические исследования и передовой педагогический опыт работы в дошкольных учреждениях показывают, что только правильно организованная детская деятельность и систематическое обучение обеспечивают своевременное математическое развитие дошкольника.

На занятиях по математике в детском саду формируются простейшие виды практической и умственной деятельности детей. Под видами деятельности — в этом случае способами обследования, счета, измерения — понимают объективные последовательные действия, которые должен выполнять ребенок для усвоения знаний: поэлементное сравнение двух множеств, накладывание меры и др. Овладевая этими действиями, ребенок усваивает цель и способы деятельности, а также правила, обеспечивающие формирование знаний. Например, сравнивая равные и неравные между собою множества, накладывая или прикладывая элементы, ребенок осознает понятие количества. Поэтому особое внимание уделяется развитию практических действий детей с предметами.

Центральной задачей математического развития детей в детском саду является обучение счету. Основными способами при этом являются накладывание и прикладывание, овладение которыми предвосхищает обучение счету с помощью слов-числительных.

Одновременно дошкольников учат сравнивать предметы по величине (размеру) и результаты сравнения обозначать соответствующими словами-понятиями («больше — меньше», «узкий — широкий» и др.), строить ряды предметов по их размеру в порядке возрастания или уменьшения (большой, маленький, еще меньше, самый маленький). Однако, для того чтобы ребенок усвоил эти понятая, необходимо сформировать у него конкретные представления, научить его сравнивать предметы между собой сначала непосредственно — накладыванием, а потом опосредованно — с помощью измерения.

Программа по математике в детском саду предусматривает развитие глазомера детей при определении размера предметов. Для этого их обучают оценивать размер (величину предметов) в целом или по отдельным параметрам, сопоставляя с размером известных предметов. Обращается внимание на формирование умения проверять правильность оценки в своей практической деятельности, используя добавления, уменьшения и др. Каждое практическое действие пополняет знание детей новым содержанием. Доказано, что формирование элементарных математических знаний происходит одновременно с выработкой у них практических умений и навыков.

Практические действия, выполняя определенную роль в математическом развитии детей, сами не остаются неизменными. Так, осуществляется изменение деятельности, связанной со счетом. Сначала она опирается на практическое поэлементное сравнение двух конкретных множеств, а позднее особое значение приобретает число как показатель мощности множества и натуральный ряд чисел, что впоследствии заменяет одно из конкретных множеств.

Сначала дети берут предметы руками, перекладывают их, а потом считают предметы, не дотрагиваясь до них, или воспринимают только на ощупь.

На основе практических действий у детей формируются такие мыслительные операции, как анализ, синтез, сравнение, обобщение. Воспитатель должен ориентироваться в оценке результатов своей работы прежде всего на эти показатели, на то, как дети умеют сравнивать, анализировать, обобщать, делать выводы. Уровень овладения детьми умственными операциями зависит от использования специальных методических приемов, которые позволяют детям упражняться в сравнении, обобщении. Так, дети учатся сравнивать множества по количеству, осуществляя при этом структурный и количественный анализ множества. Сравнивая предметы по форме, дети выделяют размер отдельных элементов, сопоставляя их между собою.

Важной является задача развития у детей мышления и речи (овладение математической терминологией). Следует значительно больше внимания уделить развитию начальных умений индуктивного и дедуктивного мышления, формированию у детей познавательных интересов и способностей. Следует отметить, что общие методы познания составляют основу любого научного мышления, в том числе и математического. Естественно, последнее имеет свое особое значение.

Итак, математическое развитие детей предполагает широкую программу приобщения их к деятельности, в данном случае математической, которой руководит взрослый (воспитатель, родители).

 

Возникновение математики и развитие ее как науки

 

Вопрос о возникновении математики с давних времен интересовал ученых и педагогов-практиков. Действительно, интересно знать, как возникли первые математические понятия, как они развивались, пополнялись и постепенно формировались в отдельную науку. Особенно это важно для дошкольной педагогики и методики формирования элементарных математических представлений, которые изучают особенности начального ознакомления ребенка с числом и счетом.

Счет и вычисление вошли в наш быт так, что мы и не можем себе представить взрослого человека, который не умеет считать и выполнять простейшие вычисления. Точно неизвестно, когда появились у того или другого народа начальные математические понятия о счете, множестве и числе, но с уверенностью можно сказать, что потребность считать, сравнивать разные величины возникла с самого начала развития человеческого общества.

На основании анализа археологических раскопок, изучения культуры и языков, жизни и быта народов, особенно с низким уровнем общественного развития, а также наблюдения за усвоением математических знаний детьми дошкольного возраста ученые выдвигают ряд гипотез о том, как сравнивались множества в дочисловой период, как формировались первые представления и понятия о числе и натуральном ряде чисел, как в процессе развития человеческого общества складывались системы счисления и письменные нумерации. Установлено, что математика возникла из потребностей людей и развивалась в процессе их практической деятельности.

Бурное развитие математики тесно связано с тем, что сначала практика, а потом и теория выдвигали перед ней все новые и новые задачи. Для решения практических или теоретических задач приобретенных знаний было уже недостаточно, приходилось искать новые способы, создавать новые методы формирования знаний.

Придерживаясь схемы, предложенной академиком А. Н. Колмогоровым, всю историю развития математики можно разделить на три основных этапа.

Первый этап — самый продолжительный. Он охватывает тысячелетия — от начала человеческого общества до XVII столетия. В этот период формировались и разрабатывались понятия действительного числа, величины, геометрической фигуры. Позже были найдены действия с натуральными числами, дробями, разработаны возможности и способы измерения длины, угла, площади, объема. Большим достижением в этот период стало открытие существования иррационального числа типа л/2. (Иррациональные числа записываются в виде бесконечной периодической дроби.) Характерным для первого периода является то, что математика была призвана удовлетворять непосредственные потребности, которые возникали в хозяйственной и военной деятельности человека: простой счет голов скота, разнообразный раздел урожая, сравнение длин разных отрезков, планирование земельных участков, измерение их площадей, вычисление объема, а также всякие денежные расчеты и др. Математика была тесно связана с астрономией, физикой, механикой.

Известно, что в Вавилоне и Египте (2-е тыс. лет до н. э.) решали математические задачи арифметического, алгебраического и геометрического содержания. При этом нередко обращались к определенным правилам, таблицам. Но теорий, из которых выводились бы эти правила, чаще всего не существовало. Поэтому не удивительно, что среди этих правил были и такие, которые давали в некоторых случаях правильные результаты, а в других — ошибочные. Следует также подчеркнуть, что накопление математических знаний в Египте имело эмпирический характер.

Становление математики как науки началось в Древней Греции, где были значительные достижения в области геометрии. Именно в Греции начиная с XII в. до н. э. разрабатывается математическая теория. Из науки практической математика превращается в логическую, дедуктивную.

Знаменательным событием в истории развития математики было появление, меньше чем за 300 лет до н. э., классического произведения Евклида «Начало», где систематически изложена геометрия приблизительно в том объеме, в котором она теперь изучается в средней школе. Кроме того, в нем есть данные о делении чисел и решении квадратных уравнений. ВIII в. до н. э. Аполоний написал книгу о свойствах некоторых чудесных кривых: эллипса, гиперболы и параболы.

Однако в эпоху рабовладельческого общества развитие науки осуществлялось очень медленно. Это объясняется прежде всего отрывом теории от практики, господством убеждений, что настоящая наука не должна интересоваться жизненными потребностям людей, что применять науку на практике — значит унижать ее. В этот период в Древней Греции господствовала идеалистическая философская школа Платона, которая установила в математике ряд запретов и ограничений, негативное значение которых чувствуется иногда и до сих пор (например, пользование только циркулем и линейкой при геометрических построениях). Но уже тогда были ученые, которые правильно рассматривали взаимоотношения теории и практики, опыта и логики, логической дедукции. К ним следует отнести Архимеда, Демокрита, Евклида и др.

Одновременно с греческой и в основном независимо от нее развивалась математическая наука в Индии, где не было характерного для греческой математики отрыва теории от практики, логики от опыта. И хотя индийская математика не достигла уровня развития математики греков, она создала немало ценного, что вошло в мировую науку и сохранилось до нашего времени (десятичная система счисления, решение уравнений 1-й и 2-й степени, введение синуса и т. д.).

Преемниками как греческой, так и индийской математической науки стали народы, которые были объединены в VIII в. арабским халифатом. Среди них необычайно важную роль в истории культуры сыграли народы Средней Азии и Закавказья (узбеки, таджики, азербайджанцы). Научные работы тогда писались на арабском языке, который был международным языком стран Ближнего и Среднего Востока. Начиная с VIII в. на арабский язык переводятся произведения индийских и греческих математиков, благодаря чему с ними смогли познакомиться европейцы.

Период с XII по XV в. характеризуется началом овладения учеными Европы древней математической наукой. Этого требовали торговые операции большого масштаба. На латинский язык начали переводить научные произведения и первые книги по математике, написанные в Азии.

В конце XV в. было введено книгопечатание, которое ускорило развитие математики как науки в целом. В XVI в. было сделано несколько выдающихся математических открытий: найдено решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, установлены методы приближенных вычислений корней уравнений любой степени с числовыми коэффициентами, достигнуты большие успехи в создании алгебраической символики.

На основании археологических данных, изучения летописей можно сделать вывод, что общий уровень математических знаний на Руси в XII—XVI вв. был не ниже, чем в Западной Европе того времени, несмотря на татаро-монгольское нашествие, которое тормозило дальнейшее развитие культуры

Второй этап развития математики по продолжительности намного короче, чем первый. Он охватывает XVII — начало XIX в. С XVI в. начинается рассцвет математики в Европе. В это время зарождаются новые области математики, которые принадлежат к высшей математике. Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления. Их возникновение связано с именами великих ученых XVII в. — Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбница. Все это дало возможность с помощью математических методов изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Вместе с этим в математику была введена система координат, измерение величин и понятие функции.

Выдающимся открытием философии этого периода является признание общности движения и измерения (функции).

Следует отметить, что на первом этапе математика несовершенно отображала количественные отношения и пространственные формы действительности. На втором этапе развития математики основным объектом изучения стали зависимости между изменяющимися величинами.

Особенно бурно на этом этапе развивалась математика в России. В XVII в. появилось много рукописей математического содержания, посвященных арифметике и геометрии. Именно тогда вышла книга по элементарной математике Л.Ф. Магницкого, изданная в 1703 г. под названием «Арифметика». По этой книге готовился М. В. Ломоносов.

Л. Ф. Магницкий был достаточно образованным человеком своего времени. Он закончил Московскую славяно-греко-латинскую академию, где получил разностороннее образование. Зная много европейских языков, Л. Ф. Магницкий ознакомился с методической литературой разных стран, в том числе и по математике. Свои знания он изложил в книге, которая стала первым российским учебником по арифметике. По своему характеру учебник не был по-настоящему академическим. Часто мысли излагались в стихотворной форме, текст сопровождался символическими рисунками. Однако это было более-менее систематизированное изложение начальной математики. Кроме того, в учебнике был помещен материал по алгебре, геометрии и тригонометрии.

Длительное время единственным высшим учебным заведением Восточной Европы была Киево-Могилянская академия. Она играла важную роль в развитии науки, культурного и литературного процесса в Украине XVII—XVIII вв., входившей тогда в состав России. В этот период весьма плодотворными были научные связи Киево-Могилянской академии с образовательными учреждениями Кракова, Магдебурга, Константинополя и др. С конца XVIII в. Академия постепенно теряла роль культурно-образовательного центра, а в 1817 г. была закрыта. Ее функции переняла Киевская духовная академия (1819) и Киевский университет (1834).

В 1724 г. была создана Петербургская академия наук, где с 1727 г. работал Л. Ейлер, который опубликовал большую часть своих трудов (473) в изданиях Академии.

В 1755 г. благодаря заботам выдающегося российского ученого М. В. Ломоносова был основан первый российский университет в Москве. Появились многочисленные русские переводы лучших иностранных учебников по математике, а также ряд оригинальных российских учебников по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и началам анализа, которые по научному уровню не уступали западно-европейским учебникам того времени.

Третий этап развития математики — с XIX в. до наших дней.

Он характеризуется интенсивным развитием классической высшей математики. Математика стала наукой о количественных и пространственных формах действительного мира в их взаимосвязи. Она переросла предыдущие рамки, которые ограничивали ее изучением только чисел, величин, процессов изменения геометрических фигур и их превращений, и стала наукой о более общих количественных отношениях, для которых числа и величины являются лишь отдельным случаем.

Большой вклад в развитие математики внесли российские ученые (М. И. Лобачевский, П. Л. Чебишев, А. Н. Колмогоров и др.) Современная математика достигла очень высокого уровня развития. Теперь насчитывается несколько десятков разных областей математики, каждая из которых имеет свое содержание, свои методы исследования и сферы применения.

Во второй половине XX в. возникли математическая экономика, математическая биология и лингвистика, математическая логика, теория информации и др.

Современное развитие общества, экономики и культуры предусматривает высокий уровень обработки информации. Решение многих научных и хозяйственных задач невозможно без использования вычислительной техники, создания специального оборудования и машин. Сейчас широко используются вычислительно-аналитические и электронно-вычислительные машины, которые работают с недоступной для человека быстротой.

В середине XX в. возникла кибернетика — новая математическая наука. Кибернетика — наука о руководстве, связи и переработке информации. Основателем ее считается американский математик Норберт Винер, который в 1948 г. опубликовал книгу под названием «Кибернетика, или Руководство и связь в живом организме и машине». Кибернетика возникла благодаря синтезированию данных целого ряда смежных научных дисциплин: теории информации, теории вероятности, автоматов, а также данных физиологии высшей нервной деятельности, современной вычислительной техники и автоматики.

Кибернетика — одна из самых молодых математических наук, ей всего несколько десятков лет, но перспективы ее развития велики. Кибернетические машины руководят полетом космических кораблей, они находятся на службе у медицины и др. Однако все эти машины производит и строит сам человек. Все это продукт человеческого гения, результат его знаний, где ведущее место занимают математические науки.

Итак, математика, которая возникла из практических потребностей человека, преобразовалась в комплексную науку, которая обеспечивает дальнейшее развитие современного общества.

 

3. Исторический обзор и современное состояние теории и технологий развития математических представлений у детей дошкольного возраста

 

Вопросы математического развития детей дошкольного возраста своими корнями уходят в классическую и народную педагогику. Различные считалки, пословицы, поговорки, загадки, потешки были хорошим материалом в обучении детей счету, позволяли сформировать у ребенка понятия о числах, форме, величине, пространстве и времени. Например,

Первая печатная учебная книжка И. Федорова «Букварь» (1574) включала мысли о необходимости обучения детей счету в процессе различных упражнений. Вопросы содержания методов обучения детей дошкольного возраста математике и формирования у них знаний о размере, измерении, времени и пространстве мы находим в педагогических трудах Я. А. Коменского, И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинского, Ф. Фребеля, Л. Н. Толстого и др.

Так, Я. А. Коменский (1592—1670) в книге «Материнская школа» рекомендует еще до школы обучать ребенка счету в пределах двадцати, умению различать числа, большие — меньшие, четные — нечетные, сравнивать предметы по величине, узнавать и называть некоторые геометрические фигуры, пользоваться в практической деятельности единицами измерения (дюйм, пядь, шаг, фунт и др.).

В классических системах сенсорного обучения Ф. Фребеля (1782—1852) и М. Монтессори (1870—1952) представлена методика ознакомления детей с геометрическими фигурами, величинами, измерением и счетом. Созданные Фребелем «дары», разработанные игры — занятия по ознакомлению детей с числом, формой, величиной и пространственными отношениями, а также его оригинальный подход к организации обучения и в настоящее время используются в качестве бесценного научного наследия.

Особое значение для развития методики обучения детей элементам математики имеют рекомендации М. Монтессори. Современная педагогика вновь обращается к изучению ее наследия.

О значении обучения детей счету до школы неоднократно писал К. Д. Ушинский (1824—1871). Он полагал, что важно научить ребенка считать отдельные предметы и их группы, выполнять действия сложения и вычитания, сформировать понятие о десятке как единице счета. Следует отметить, что во времена К. Д. Ушинского в России почти не было общественного дошкольного воспитания и его советы относительно математического развития были в основном адресованы учителям и родителям. Тем не менее его рекомендации «о первоначальном обучении счету» имели большое значение для составления в последующем программ по формированию элементарных математических представлений (см. методику начального обучения).

Великий русский мыслитель Л. Н. Толстой издал в 1872 г. «Азбуку», одной из частей которой является «Счет». Критикуя су­ществующие методы обучения, Л. Н. Толстой предлагал обучать де­тей счету вперед и назад в пределах сотни, изучать нумерацию, основываясь при этом на детском практическом опыте, приобретен­ном в игре.

Особое значение вопросы методики математического развития приобретают в педагогической литературе начальной школы на рубеже XIX—XX вв. Авторами методических рекомендаций тогда были передовые учителя и методисты. (В этот период методики обучения математике детей дошкольного возраста еще не было.) Опыт практических работников не всегда был научно обоснованным, зато был проверен на практике. Со временем он усовершенствовался, сильнее и полнее в нем выявлялась прогрессивная педагогическая мысль. В конце XIX — начале XX в. у методистов возникла потребность в разработке научной основы методики арифметики. Значительный вклад сделали передовые учителя и методисты П. С. Гурьев, А. И. Гольденберг, Д. Ф. Егоров, В. А. Евтушевский, Д. Д. Галанин и др.

Первые пособия по методике обучения дошкольников счету, как правило, были адресованы одновременно учителям, родителям и воспитателям. На основе опыта практической работы с детьми В. А. Кемниц (1912) издала методическое пособие «Математика в детском саду». В качестве основных методов работы с детьми предлагаются беседы, игры, практические упражнения. Автор считает необходимым знакомить детей с такими понятиями, как «один», «много», «несколько», «пара», «больше», «меньше», «столько же», «поровну», «равный», «такой же» др. Основной задачей является изучение чисел от 1 до 1), причем каждое число рассматривается отдельно. Одновременно дети усваивают действия над этими числами. Широко используется наглядный материал.

В ходе бесед и занятий дети усваивают знания о форме, пространстве, времени, делении целого Не части, величинах и их измерении.

Вопросы о методах, содержании обучения детей счету и математическом развитии в целом, которые могли бы стать основой для успешного математического развития в школе, особенно остро дебатировались в дошкольной педагогике с момента создания широкой сети общественного дошкольного воспитания.

Наиболее крайняя позиция сводилась к запрещению любого целенаправленного обучения математике. Достаточно четко она отражена в работах К. Ф. Лебединцева. В книге «Развитие числовых представлений в раннем детстве» (Киев, 1923) автор пришел к выводу, что первые представления о числах в пределах пяти возникают у детей на основе различения групп предметов, восприятия множеств. А дальше, за пределами этих небольших совокупностей, основная роль в формировании понятия числа принадлежит счету, который вытесняет симультанное восприятие множеств. При этом он считал желательным, чтобы ребенок добывал знания в этот период «незаметно» (самостоятельно). К такому выводу К. Ф. Лебединцев пришел на основе наблюдений за усвоением детьми первых числовых представлений и овладением ими счетом. Дети на самом деле очень рано начинают выделять некоторые небольшие группы однородных предметов и, подражая взрослым, называть это числом. Но эти знания еще неглубоки, недостаточно осознаны. Умения детей называть числа не всегда являются объективным показателем математических способностей. И все-таки в 20-е гг. большинство методистов приняли точку зрения К. Ф. Лебединцева. По их мнению, числовые представления возникают у ребенка главным образом благодаря целостному восприятию небольших групп однородных предметов, находящихся в окружающей среде (руки, ноги, ножки стола, колеса у машины и т. д.).

Однако передовые педагоги-«дошкольники» (Е. И. Тихеева, Л. К. Шлегер и др.) отмечали, что процесс формирования числовых представлений у детей очень сложный и поэтому необходимо целенаправленно обучать их счету. Основным способом обучения детей счету признавалась игра.

Так, авторы книги «Живые числа, живые мысли и руки заработай» (1920) Е. Горбунов-Пасадов и И. Цунзер писали, что в свою деятельность — игру — ребенок пытается внедрить то, что ему интересно в данный момент. Поэтому ознакомление с элементами математики должно основывается на активной деятельности ребенка. Считалось, что, играя, дети лучше усваивают счет, лучше знакомятся с числами и действиями с ними.

Большинство педагогов 20—30-х гг. были увлечены педагогикой свободного воспитания, поэтому весьма критически относились к строгому систематическому целенаправленному обучению на основе типовых (унифицированных) программ для детского сада. В частности, Л. К. Шлегер указывала на то, что дети должны свободно выбирать себе занятия, по собственному желанию и каждый может делать то, что он задумал, выбирать соответствующий материал, ставить себе цели и достигать их. Эта программа, по ее мнению, должна опираться на естественные наклонности и стремления детей. Роль воспитателя заключалась в основном в создании условий, которые способствуют самообучению детей. Л. К. Шлегер совершенно справедливо считала, что счет следует соединять с различными видами деятельности ребенка, а воспитатель должен использовать различные моменты из жизни детей для упражнений их в счете.

В работах Е. И. Тихеевой, М. Я. Морозовой и др. подчеркивалось, что знания о первых десяти числах ребенок должен усвоить еще до школы и при этом «без всяких систематических занятий и специальных приемов учебного характера». В работе «Современный детский сад, его значение и оборудование» (1920) авторы отмечали, что сама жизнь детского сада, занятия детей, игра предоставляют огромное количество моментов, которые можно использовать для усвоения счета детьми в пределах, доступных их возрасту, и усвоение это должно быть полностью непринужденным. Легко закладывается в душу ребенка тот фундамент математического мышления, который так необходим как ученику, так и учителю, если «школа (детский сад) стремится к научному и систематическому обучению».

Е.И. Тихеева четко представляла себе содержание ознакомления детей дошкольного возраста с числом и счетом, а касательно методики высказывалась о том, что современная методика стремится к тому, чтобы подвести детей к усвоению знаний самостоятельно, создавая для ребенка условия, обеспечивающие ему самостоятельный поиск познавательного материала и использование его. Она писала, что учить детей вычислениям не следует, однако ребенок должен усвоить первый десяток, конечно, до школы. Все числовые представления, доступные для детей этого возраста, они должны брать из жизни, в которой живут и в которой деятельно принимают участие. А участие ребенка в жизни при нормальных условиях должно выражаться лишь в одном — работе-игре. Причем, играя, трудясь, живя, ребенок обязательно сам научится считать, если взрослые будут при этом для него незаметными помощниками и руководителями.

В работе «Счет в жизни маленьких детей» (1920) Е. И. Тихеева также выступала против «притеснения и насилия» в математическом развитии ребенка. Она высказывалась против систематического обучения на занятиях, предлагая знакомить детей с числом в процессе организации разнообразных игр и режимных моментов. Одновременно Е. И. Тихеева возражала и против стихийного воспитания ребенка. Абсолютно справедливо она рассматривала сенсорное восприятие как главный источник математических знаний. Понятие о числе должно «входить в жизнь ребенка только в неразрывном единстве с предметами, которые находятся вокруг ребенка». В связи с этим автор обращает внимание на наличие необходимого наглядного материала в детском саду и дома. После того как те или другие числовые представления получены ребенком, можно использовать игры-занятия. Автор рекомендует специальные игры-занятия с дидактическими материалами для ознакомления и закрепления этих представлений, углубления необходимых умений в счете.

Понимая, что стихийное овладение числовыми представлениями не может иметь должной последовательности, системности, Е.И. Тихеева в качестве средств систематизации знаний предлагала специальные наборы дидактического материала. В качестве счетного материала она рекомендовала использовать природный материал: камешки, листья, бобы, шишки и др. Она создала дидактический материал типа парных картинок и лото, разработала задачи на закрепление количественных и пространственных представлений.

Содержание математических знаний Е. И. Тихеева представляла достаточно широко. Это и ознакомление с величиной, измерением, цифрами, даже дробями. Значительное место в содержании обучения математике Е. И. Тихеева отводила формированию у детей представлений о величине и мере. Она считала важным раскрыть перед детьми функциональную зависимость между результатом измерения и величиной меры. Все виды измерения, считала она, должны быть целесообразными, связанными с практическими задачами, например с игрой в магазин («лавочку»).

К сожалению, Е. И. Тихеева совершенно не оценила роли коллективных занятий, считая их навязанными ребенку извне. Она считала, что в детском саду познания детей будут разными, степень их развития неодинаковая, но это «не должно пугать воспитателя». При этом автор нигде не дает конкретных рекомендаций, как же работать с детьми разного уровня развития.

Е. И. Тихеева внесла определенный вклад в развитие методики обучения детей счету, определив объем знаний, доступных «дошколятам». Большое внимание она уделяла ознакомлению детей с отношениями между предметами разной величины: больше — меньше, шире — уже, короче — длиннее и др. Прекрасный мастер-практик, глубоко знающий ребенка, она чувствовала необходимость обучения, последовательного усложнения учебного материала, хотя признавала в основном только индивидуальное обучение. По сути дела, Е. И. Тихеева не разработала и теоретически не обосновала методику обучения счету, не показала основных путей овладения детьми начальными математическими знаниями, однако созданные ею дидактический материал и дидактические игры используются и в современной педагогической практике.

В конце 30-х гг. происходит отход от неорганизованного обучения в детском саду, и с этого момента возникают проблемы, связанные с определением содержания, методов обучения детей разных возрастных групп детского сада.

Значительным этапом в разработке методик развития математических представлений были работы Ф. Н. Блехер. Автор этих трудов предлагает воспитателям широкую программу обучения дошкольников начальным знаниям по математике. Так, в методических рекомендациях воспитателям нулевых групп детских садов (1932) она раскрывает методику организации упражнений, направленных на формирование понятий о величине, количестве, пространстве, времени и измерении. Хотя в целом книга «Научимся считать» рассчитана на индивидуальное использование, однако в ней много материала, позволяющего объединять детей. Чтобы воспитателю было легче распределять материал, все содержание пособия поделено на уроки (81 урок), так автор называет занятия.

Ф. Н. Блехер включает в программу детского сада счет в пределах десяти на специальных занятиях и счет до 20—30 в свободной деятельности. Она считает необходимым ознакомить детей с составом числа, порядковым числом, цифрами, научить их решать несложные арифметические задачи и примеры. Одновременно, впервые в литературе по дошкольной педагогике, автор указывает на то, что детям следует показать независимость числа от величины элементов, составляющих множество, расстояния между ними, формы размещения, показать им соотношения между числами в числовом ряду и др.

На основе личных наблюдений она пытается поделить программный материал в соответствии с возрастными возможностями детей.

Так, в младшей группе дети учатся считать в пределах четырех, в средней — в пределах десяти, в старшей — дети должны уметь производить сложение и вычитание в пределах десяти и перейти к счету в пределах второго десятка.

В качестве основных средств математического развития детей Ф. Н. Блехер рекомендует использовать различные жизненные ситуации. Знания, приобретенные ребенком в повседневной жизни, закрепляются в индивидуальных играх-занятиях с дидактическим материалом. В работе с детьми она предлагает использовать карточки с числовыми фигурами и цифрами на сложение и вычитание для закрепления порядкового счета, понятия состава числа, знаний о времени, форме и т. д. Несколько позднее Ф. Н. Блехер разработала и систематизировала этот дидактический материал.

Однако по объективным причинам методика Ф. Н. Блехер имела ряд противоречий. Так, автор недооценивала значения поэлементного пересчитывания совокупностей и в целом счетной деятельности в математическом развитии ребенка, считая наиболее высоким уровнем математического развития целостное восприятие группы предметов. В принципе Ф. Н. Блехер не видела различий между конкретным множеством и числом как абстрактным понятием. Она считала, что уровень математического развития детей связан с уровнем его самостоятельно полученных знаний, поэтому не было никаких рекомендаций по организации целенаправленного обучения детей счету. По ее мнению, преподаватель-воспитатель должен содействовать саморазвитию ребенка, а не вмешиваться активно в его развитие. Несмотря на эти противоречия, труды Ф. Н. Блехер имели положительное влияние на развитие методики обучения детей счету. Многие методические высказывания об организации дидактических игр и упражнений не утратили своего значения и в современной педагогической практике.

В 40—50-х гг. началось экспериментальное изучение особенностей формирования у детей умений и навыков в области числа и счета. Были проведены психологические исследования по этой проблеме И. А. Френкелем, Л. Я. Яблоковым,

Е. И. Корзаковой, Г. С. Костюком и др. Обосновано положение о необходимости формирования у детей умения различать отдельные элементы в множестве, о зависимости восприятия множества от способа пространственного размещения элементов, об усвоении ими числительных и этапах овладения детьми счетными операциями.

Особое значение в 40—60-е гг. имели исследования Г.С. Костюка. Его интересовали вопросы, связанные с математическим развитием детей раннего и младшего дошкольного возраста (2—4,5 года). Методика исследования заключалась в выполнении детьми игровых заданий. На основании полученных данных ученый сделал вывод о том, что понятие числа возникает у ребенка в результате понимания им количественных отношений. Ребенок абстрагирует число от конкретных предметов, при этом абстрагирование для него является активным процессом. Этот процесс происходит в условиях речевого общения. Формирование понятия о числе — продукт анализирующих, синтезирующих, абстрагирующих и обобщающих действий ребенка с объектами.

В работах Н. А. Менчинской «Очерки психологии обучения арифметике» (1947) и «Психология обучения арифметике» (1955) наиболее полно рассмотрены вопросы формирования понятия о числе у дошкольников. Анализируется путь формирования понятий о множестве и счете на разных этапах овладения числом.

Одновременно с экспериментальными исследованиями осуществлялась ориентировка на обобщение передового педагогического опыта работы детских садов. Так, в книге М. Л. Янпольской «Методические игры и оборудование в детском саду» предлагались некоторые рекомендации к организации работы по математике в детском саду. Представлены различные дидактические игры и упражнения с математическим содержанием (счет, число, величина, вес, форма, пространство, измерение). Игры систематизированы в соответствии с возрастом детей, к некоторым из них даются рисунки. Наряду с дидактическими предлагаются подвижные, настольно-печатные, головоломки и другие игры.

Особую ценность представляет книга 3. В. Пигулевской «Счет в детском саду» (1953), адресованная воспитателям детских садов, детских домов и родителям. В ней представлена серия конспектов занятий по счету, дается описание некоторых наглядных пособий и дидактических игр, педагогические выводы, которые базируются на собственном педагогическом опыте автора. В книге рассматриваются психологические особенности детей дошкольного возраста, условия осознанного усвоения детьми знаний, некоторые принципы обучения счету (наглядность и активность), основные пути этой работы, ориентировочные показатели математического развития детей.

Раскрывая методику занятий в каждой возрастной группе, 3. В. Пигулевская выделяет общее количество их в учебном году, длительность каждого занятия и содержание. Анализ содержания занятий позволяет выявить общие позиции автора как представителя монографического метода. Так, четко обозначается следующее: в старшей группе на формирование знаний о числах 6,7,8 отводится по пять занятий и т. д. Множества воспринимаются детьми и зрительно и на слух. Проводится работа по усвоению состава числа на конкретном счетном материале. Обучения вычислительной деятельности не было. Такой подход к обучению дошкольников математике, естественно, не мог удовлетворить ни теорию ни практику дошкольного воспитания. Однако эта была первая попытка создания системы обучения дошкольников математике.

Другая попытка создать систему обучения дошкольников счету была сделана Ф. А. Михайловой и Н. Г. Бакст. В пособии «Занятия по счету в детском саду» (1958) обобщен опыт работы лучших воспитателей детских садов. Авторы раскрывают содержание и приемы работы с детьми в разных возрастных группах. Рекомендуется до обучения счету сформировать у детей представления о множестве (здесь учтены некоторые исследования А. М. Леушиной). Уделяется внимание ознакомлению детей с составом числа из единиц и двух меньших чисел, пониманию отношений между смежными числами в натуральном ряду.

Характеризуя уровень развития методики формирования математических представлений в эти годы, следует сказать, что недостаточность фундаментальных исследований в этой области приводила к отказу от активного влияния на развитие детей. Разрабатывая методику, авторы указывали лишь на необходимость создания позитивных условий, обеспечивающих саморазвитие личности. В работе с детьми отдавалось преимущество дидактическим играм и индивидуальным занятиям, хотя практика показывала, что такое обучение недостаточно целенаправленно влияет на развитие детей (А. П. Усова).

Создание системы обучения счету в детском саду является заслугой А. М. Леушиной. На основании глубокого экспериментального исследования ею доказано преимущество систематического обучения на специальных занятиях по математике. А. М. Леушина проанализировала различные точки зрения, различные подходы и концепции математического развития детей, критически оценила предыдущие направления и разработала новый подход в обучении детей счету.

На основании принципов и методов, предложенных А. М. Леушиной, и в настоящее время осуществляется математическое развитие дошкольников.

Сначала дети начинают сравнивать множества, еще не зная чисел. Такое сравнение дает возможность маленькому ребенку делать вывод, например, о том, что ему дали меньше конфет, нежели его брату. Малыш не может сам рассказать, как он об этом узнал, но наблюдения за его поведением показывают, что такое сравнение он делает, сопоставляя один предмет с другим, как будто сравнивая их попарно. Наглядное сопоставление элементов одного множества с элементами другого дает возможность ребенку сделать вывод об их равенстве или неравенстве.

А. М. Леушина разработала принципиально новый, теоретико-множественный подход в обучении детей счету. Исходным понятием в обучении дошкольников взято не число, как это считалось раньше, а конкретное множество. Практические действия детей с множествами рассматриваются как начальные этапы счетной деятельности.

Концепция математического развития дошкольников, разработанная А. М. Леушиной, служит источником для многих современных исследований, а дидактическая система, созданная ею, прошла опробование временем, показала свою эффективность в условиях общественного дошкольного воспитания, успешно функционирует уже несколько десятков лет.

В 70—80-е гг. проведен ряд исследований по отдельным проблемам методики формирования элементарных математических представлений (Т. В. Тарунтаева, В. В. Данилова, Г. А. Корнеева, Т. Д. Рихтерман и др.), что значительно обогатило методику обучения математики в целом.

В исследованиях А. М. Леушиной формирование понятия о числе основывалось главным образом на восприятии множества (дискретной величины). Однако ознакомление детей с числом только на основе сравнения конкретных множеств дает неполное представление о числе. Исследования П. Я. Гальперина и Л. С. Георгиева показали, что число должно восприниматься детьми прежде всего как результат измерения, как отношение измеряемой величины к избранной мере. В результате такого обучения дети раньше, чем по традиционной системе обучения, знакомятся с числом не только как характеристикой количества отдельных предметов, но и как показателем отношений. С самого начала обучения дети осознают тот факт, что число зависит прежде всего от выбранной меры, что мера — составная часть измеряемой величины и она не всегда идентична понятию единицы как отдельности. Современные исследования дали возможность включить в программу обучения в детском саду ознакомление детей с измерением.

Исследования П. М. Эрдниева были направлены на изучение методики обучения вычислительной деятельности в детском саду и школе. В действующей до 60-х гг. методике решения арифметических задач детям предлагались сначала задачи на сложение, а потом — на вычитание. П. М. Эрдниев предложил новый метод — метод одновременного изучения этих действий, т. е. на одном занятии (уроке) детей знакомили с задачами на сложение и вычитание. Кроме того, исследования показали, что с первых шагов детей целесообразно знакомить с необходимостью иногда делать объединения или перестановку слагаемых, подчеркивая при этом, что от перемены мест слагаемых результат (сумма) не меняется. Такая подготовительная работа к изучению переместительного и соединительного законов сложения в детском саду дает возможность формировать у детей осознанное отношение к арифметическим действиям, вооружает их обобщенными способами выполнения видов математической деятельности. Особое значение П. М. Эрдниев придавал использованию дидактического материала. Следует отметить его справедливые замечания о том, что использование в одинаковой мере и в старшей и в младшей группах сюжетного наглядного материала (игрушки, картинки) негативно отражается в дальнейшем на результатах обучения детей в школе. Автор рекомендует пересмотреть наглядный материал, уделив большее внимание бессюжетному, абстрактному.

Исследования, проведенные Т. А. Мусейбовой, Т. В. Тарунтаевой, В. В. Даниловой, Н. И. Непомнящей и др. по многим другим проблемам математического развития дошкольников, позволили определить объем и содержание обучения математике в детском саду. В программу по математике были введены вопросы ознакомления детей с величиной и формой предметов, пространственными и временными отношениями, способами измерения непрерывных величин (линейное и объемное измерение), отношением частей и целого и др.

Психолого-педагогические исследования Н. Н. Поддьякова, Е. В. Давыдова, Л. В. Занкова, Л. А. Венгера обосновали значительно большие, нежели считалось ранее, умственные возможности детей в процессе обучения, в том числе и в процессе обучения математике. Так, исследование, проведенное Л. А. Венгером и Т. В. Тарунтаевой, было направлено на выявление уровня математических знаний, приобретенных в результате обучения и вне его. Данные показали, что у детей в возрасте 2—3 лет начинают формироваться первые представления о количестве, они уже умеют выделять один предмет в множестве, сравнивать предметы по количеству даже без какого-либо целенаправленного обучения. До 4—5 лет они спонтанно овладевают некоторыми счетными операциями на наглядно-действенном уровне. Однако детям младшего дошкольного возраста задания, которые требовали применения меры, без специального обучения оказались недоступными. Дети даже старшего дошкольного возраста стихийно измерениями не овладевали. Процесс овладения мерой как способом сопоставления величин можно и нужно организовывать в дошкольном возрасте, и тогда он дает высокий общеразвивающий эффект (Л. А. Венгер, Т. В. Тарунтаева).

В современных исследованиях психологов и педагогов (В. В. Давыдов, В. В. Данилова, А. Я. Савченко, Л. А. Парамонова, Н. И. Непомнящая, Г. А. Корнеева и др.) все больше подчеркивается необходимость обучать детей обобщенным приемам и способам деятельности.

Таким образом, на протяжении последних лет методика пополнилась теоретическими исследованиями в разных конкретных направлениях, что значительно повысило общеразвивающий эффект обучения. Однако в теории и практике дошкольного воспитания есть еще ряд нерешенных проблем.

Проблемы

Одной из актуальных проблем методики формирования элементарных математических представлений является проблема преемственности в работе детского сада и школы, а в связи с этим дальнейшая разработка эффективных методов и приемов обучения. Изучение математики в начальной школе предусматривает достаточно широкую и глубокую ориентацию детей в количественных и пространственных отношениях окружающей действительности. Современное обучение в детском саду не всегда в полной мере решает эти задачи. Нередко математические знания дети усваивают формально, без должного их понимания. Одной из причин такого уровня знаний является недостаточная разработка отдельных методических вопросов. Так, современное обучение математике в детском саду во многом ориентируется на вербальные (словесные) методы, которые дают возможность формировать у детей конкретные знания, умения и навыки, и недостаточно ориентируется на методы, которые содействуют развитию у них познавательных интересов и способностей, логического мышления.

До сих пор в методике обучения математике в детском саду нет четких показателей математического развития дошкольников. Государственные стандарты требуют конкретной экспериментальной проверки. Часто уровень математического развития ребенка определяют, исходя только из объема (суммы) отдельных знаний, тогда как развитие обеспечивается системой и качеством этих знаний. В связи с этим очень остро стоит проблема разработки принципов отбора и систематизации математических знаний на основании государственных стандартов, индивидуализации и дифференциации обучения. Решение этих проблем позволит достичь наиболее высокого уровня математического развития.

Наряду с этим осуществляется дальнейшая научная разработка проблемы обучения детей дошкольного возраста обобщенным способам познавательной деятельности, широкого использования материализованных форм наглядности (схемы, модели, графики). Применение схем, моделей, графиков в педагогическом процессе детского сада будет содействовать развитию у дошкольников познавательной активности, способности творчески использовать ранее полученные знания в самостоятельной деятельности (О. А. Фунтикова и др.).

Опыт работы в дошкольных учреждениях показывает, что больше внимания следует уделять развитию специального словаря в процессе формирования элементарных математических представлений. В связи с этим необходимо изучать особенности овладения дошкольниками математической терминологией, элементарной математической логикой (Л. С. Плетенецкая и др.).

Значительные трудности наблюдаются в организации процесса обучения, в частности обучения математике в разновозрастной группе, малокомплектном детском саду. Положительное решение этих проблем обеспечит достаточное математическое развитие и подготовку ребенка к школе.