2015-04-12
842
Список заданий к модульной контрольной
По «Аналитической геометрии».
Теоретические вопросы
1. Вектор, коллинеарные и компланарные векторы, равенство векторов. Базис, разложение вектора по базису. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов.
2. Декартова система координат. Деление отрезка в заданном отношении. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат. Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат.
3. Скалярное произведение векторов и его свойства (свойство линейности доказать). Выражение скалярного произведения через компоненты векторов, модуль вектора, угол между двумя векторами.
4. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение и его свойства (свойство линейности доказать). Выражение векторного произведения через компоненты сомножителей. Двойное векторное произведение.
5. Смешанное произведение и его свойства. Выражение смешанного произведения через компоненты сомножителей. Условия коллинеарности и компланарности векторов через векторное и смешанное произведение векторов.
|
|
|
6. Изменение базиса, матрица перехода. Изменение системы координат. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.
7. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой (на плоскости) проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой линии в отрезках. Уравнение прямой проходящей через две данные точки.
8. Нормированное уравнение прямой. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. Отклонение, расстояние от точки до прямой.
9. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет и директрисы эллипса. Выражение фокальных радиусов через эксцентриситет для эллипса. Симметрии эллипса. Условие касания прямой эллипса.
10. Гипербола и ее асимптоты. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. Выражение фокальных радиусов через эксцентриситет для гиперболы. Симметрии гиперболы. Условие касания прямой и гиперболы.
11. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Симметрии параболы.
12. Уравнение касательной к коническому сечению. Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе.
13. Общее уравнение линии второго порядка. Доказать лемму о том, что общее уравнение кривой линии второго порядка при условии 
всегда можно привести к виду 
.
14. Классификация линий второго порядка.
15. Доказать, что величина 
есть инвариант общего уравнения линии второго порядка.
|
|
|
16. Нормальное уравнение плоскости. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. Исследование общего уравнения плоскости.
17. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
18. Векторное уравнение прямой линии в пространстве, направляющие коэффициенты прямой. Канонические уравнения прямой линии в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой линии в пространстве.
19. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми линиями в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнения прямой проходящей через две данные точки (в пространстве).
20. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.
21. Поверхности вращения (алгоритм построения уравнения поверхности вращения). Конус второго порядка.
22. Эллипсоид. Однополостный гиперболоид и его свойство, понятие образующей.
23. Двуполостный гиперболоид. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид и его свойство.
