Примеры решения задач

РАЗДЕЛ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основные формулы

1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Р = (n m₀<υ_кв>²)/3 = (2/3)n<W_к>,

Р = nkT,

где Р – давление; n – число молекул в единице объема; m₀ – масса одной молекулы газа; < υ_кв > – средняя квадратичная скорость молекулы; k –постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.

2. Концентрация молекул

n = N/V,

где N – число молекул, содержащихся в данной системе; V – объем.

3. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

<W_к> = (3/2) kT.

4. Средняя кинетическая энергия молекулы

<W> = (i/2) kT,

где i – число степеней свободы молекулы.

5. Средняя квадратичная скорость молекулы

<υ_кв> = = ,

где k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; m₀ – масса молекулы; μ – молярная масса; R – универсальная газовая постоянная.

6. Средняя арифметическая скорость молекулы

<υ> = = .

7. Наиболее вероятная скорость молекулы

υ_в = = .

8. Количество вещества

n = m/ μ = N/N_A,

где m – масса вещества; μ – его молярная масса; N – число молекул; N_A – число Авогадро.

9. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева –Клапейрона)

PV = (m/μ) × RT,

где Р – давление газа в сосуде; V – объем сосуда; m – масса газа, содержащегося в данном сосуде; μ – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; Т – абсолютная температура.

10. Изотермический процесс (Т = const, m = const)

P₁V₁ = P₂V₂.

11. Изохорический процесс (V = const, m = const)

P = P₀ (1+ at) или P₁/P₂ = T₁/T₂,

где t – температура по шкале Цельсия; T – температура по шкале Кельвина; a – температурный коэффициент.

12. Изобарический процесс (Р = const, m = const)

V = V₀(1+ at) или V₁/V₂ = T₁/T₂.

13. Работа расширения газа:

в общем случае

A = ;

при изобарическом процессе

A = P DV;

при изотермическом процессе

A = ν R T ln(V₂/V₁);

при адиабатическом процессе

A = – ν с_v ΔТ,

где DV – изменение объема; R – универсальная газовая постоянная; ν – количество вещества; с_v – удельная теплоемкость при постоянном объеме; DТ – изменение температуры.

14. Внутренняя энергия идеального газа

U = (ν R T)(i/2) = ν с_v Т,

где i – число степеней свободы молекулы.

15. Удельные теплоемкости газа:

при постоянном объеме

с_v=(i/2) (R/μ),

при постоянном давлении

с_р=(i+2/2) (R/μ).

16. Уравнение Майера для удельных теплоемкостей

с_р– с_v= R/μ.

17. Уравнение Пуассона

(P V)^γ = const,

где γ = С_р/ С_v = (i + 2)/ i, С_р,С_v – молярные теплоемкости при постоянном давлении, объеме.

18. Связь между удельной (с) и молярной (С) теплоемкостями

c = С/μ.

19. Уравнение теплового баланса

Q = c m (t₂ – t₁),

где Q – количество теплоты, необходимое для нагревания тела массой m от температуры t₁ до температуры t₂; c – удельная теплоемкость вещества.

20. Теплота плавления

Q = l m,

где l – удельная теплота плавления вещества.

21. Теплота парообразования

Q = r m,

где r – удельная теплота парообразования вещества.

22. Первый закон термодинамики

Q = DU + A,

где Q – количество теплоты, сообщенное термодинамической системе; DU – изменение внутренней энергии системы; А – работа, совершенная системой против внешних сил.

23. Коэффициент полезного действия цикла Карно

h = (Q₁ – Q₂)/Q₁ =(T₁ – T₂) /T₁,

где Q₁ – количество теплоты, полученное от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, переданное холодильнику; Т₁ – абсолютная температура нагревателя; Т₂ – абсолютная температура холодильника.

24. Разность энтропий двух состояний В и А

25. Закон распределения молекул по скоростям (закон Максвелла)

DN = N × f(u) × Du

f(u) = (4/ ) u²,

где ΔN – число молекул, относительные скорости которых лежат в интервале от u до (u + Δu); u =υ/υ_в – относительная скорость, где υ – данная скорость,
υ_в – наиболее вероятная скорость молекул; Δu – величина интервала относительных скоростей, малая по сравнению со скоростью u.

26. Барометрическая формула

P_h= P₀ e^(–μ^gh/^RT⁾,

где P_h – давление газа на высоте h; P₀ – давление на высоте h = 0; g – ускорение свободного падения.

27. Средняя длина свободного пробега молекул газа

<λ> = <υ>/<z> = 1/( πσ²n),

где < υ > – средняя арифметическая скорость; < z > – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени; σ – эффективный диаметр молекулы; n – число молекул в единице объема.

28. Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени

Z = (1/2) <z> n.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить плотность воздуха при давлении 830 мм рт. ст. и температуре 17 °С.

Решение. Для решения задачи необходимо перевести данные в единицы международной системы СИ. Давление воздуха равно 830 мм рт. ст. Это значит, что давление воздуха равно давлению у основания ртутного столба высотой 830 мм, а оно рассчитывается по формуле

где Р – давление; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h – высота столба жидкости.

Переведем температуру в градусы Кельвина:

Молярная масса воздуха

Плотность газа определяется отношением его массы к объему:

Из уравнения Менделеева – Клапейрона выразим плотность:

Пример 2. В баллоне объемом 40 литров находится кислород при температуре 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на 100 кПа. Определить массу израсходованного кислорода. Температура газа в баллоне не изменилась.

Решение. Массу израсходованного кислорода можно определить как разность масс газа до работы с баллоном и после работы с баллоном:

В общем виде изменение массы газа определяется по формуле

Решая последнее уравнение, мы получим Dm < 0. Это говорит о том, что масса газа в баллоне уменьшается. В предложенной задаче мы определяем убыль массы газа, а не изменение массы.

Считая кислород в баллоне идеальным газом, мы можем для описания его состояния использовать основное уравнение газового состояния – уравнение Менделеева – Клапейрона

Это уравнение дает возможность выразить значения масс в начальном и конечном состояниях кислорода:

По условию задачи

Определим убыль массы газа:

Масса израсходованного газа Dm = 0.051 кг.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Какова средняя арифметическая скорость молекул? Сколько столкновений в секунду испытывает молекула?

Решение. Средняя арифметическая скорость <u> молекул определяется по формуле

где m – масса одного киломоля газа.

Выразим числовые значения R и m в системе СИ и подставим в формулу:

Число столкновений молекулы в секунду < z > зависит от средней скорости молекулы< u > и средней длины ее свободного пробега < l > и выражается формулой

Пример 4. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 °С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?

Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарическом нагревании, определяется по формуле

где m – масса нагреваемого газа; с_р – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении; DT – изменение температуры газа.

Как известно,

где i – число степеней свободы молекулы газа; R – универсальная газовая постоянная; m – масса одного киломоля газа.

Подставив выражение с_p в Q, получим

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах системы СИ: m = 200 г =0.2 кг; i = 5, т. к. водород – газ двухатомный.

;

Подставим эти значения в формулу Q и произведем вычисление:

Внутренняя энергия газа выражается формулой

Следовательно, изменение внутренней энергии

Подставив сюда числовые значения в системе СИ, получим

Работу расширения газа найдем по формуле, выражающей первое начало термодинамики,

Q = DU + A,

откуда

A = Q – DU.

Подставив значение Q и DU, найдем

Работу, совершаемую газом, можно определить также по формуле

Подставив числовые значения, получим

Пример 5. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру 200 °С. Какова температура охладителя, если за счет каждой килокалории тепла, полученной от нагревателя, машина совершает работу 1680 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитываются.

Решение. Температуру охладителя можно найти, использовав выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно,

где Т₁ – абсолютная температура нагревателя; Т₂ – абсолютная температура охладителя.

Отсюда

Т₂ = Т₁ (1 – h).

Термический КПД тепловой машины есть коэффициент использования теплоты. Он выражает отношение количества теплоты, которое превращено в работу А, к количеству теплоты Q₁, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е.

Найдем температуру охладителя

Выразим все величины в системе СИ и вычислим температуру охладителя:

Q₁ = 1 ккал = = 4.19×10³ Дж;

Т₁ = 200 + 273 = 473 К;

Пример 6. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от
0 до 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение. Найдем отдельно изменение энтропии при нагревании воды и изменение энтропии при превращении воды в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой и .

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты

dQ = mcdT,

где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость.

Запишем формулу для вычисления энтропии при нагревании воды:

Вынеся за знак интеграла постоянные величины и произведя интегрирование, получим

Произведем вычисления в системе СИ:

m = 100 г = 0.1 кг;

Т₁=273 К;

Т₂=100+273=373 К;

При вычислении изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура T может быть вынесена за знак интеграла. Вычислив интеграл, получим

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры;

Q = lm,

где l – удельная теплота парообразования.

Таким образом, изменение энтропии

Выразим числовые значения величин в системе СИ:

;

m = 0.1 кг;

T = 373 K.

Произведем арифметические действия:

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

Пример 7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре 400 К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не выше чем на 5 м/с?

Решение. Распределение молекул по относительным скоростям выражается уравнением

Здесь N – полное число молекул газа; f (u) – функция распределения Максвелла; u = υ/υ_в, где υ – данная скорость, υ_в – наиболее вероятная скорость.

Поскольку в задаче речь идет о наиболее вероятной скорости, надо считать υ = υ_в. Следовательно, u = 1 и уравнение примет более простой вид:

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Δu:

. (1)

Прежде чем производить расчеты по (1), необходимо убедиться в том, что выполняется условие Δu<<u. Так как u = υ/υ_в, то

Δu = Δυ/υ_в. (2)

Чтобы вычислить Δu по (2), найдем сначала наиболее вероятную скорость по формуле

Подставив это значение в (2) и имея в виду, что Δ υ=10 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от (υ_в – 5 м/с) до (υ_в + 5 м/с), получим Δu = 1/182.

Теперь сделаем подстановку в формулу (1):

Δu=