Экзаменационная программа

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Семестр

 

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

 

1. Функции нескольких переменных. Примеры. Линии уровня и поверхности уровня. Частные производные функции нескольких переменных и их геометрический смысл (в случае функции двух переменных). Правила вычисления.

2. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости (без доказательства).

3. Дифференцирование сложной функции. Неявная функция. Теорема о дифференцировании неявной функции. Вычисление производных неявной функции.

4. Скалярное поле. Примеры. Градиент скалярного поля, производная по направлению и ее связь с градиентом. Свойства градиента скалярного поля. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (без доказательства). Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Второй дифференциал функции двух переменных и его знакоопределенность.

6. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

7. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

8. Кратные (двойные и тройные) интегралы в декартовой системе координат. Определение, свойства, сведение к повторным интегралам (без доказательства). Вычисление площади и объема.

9. Замена переменных в двойных и тройных интегралах (без доказательства). Якобиан и его геометрический смысл. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

10. Векторное поле, векторные линии. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл. Свойства потока векторного поля, вычисление потока через часть поверхности.Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл, свойства.

11. Работа и циркуляция векторного поля. Свойства и вычисление. Формула Стокса. Формула Грина. Ротор векторного поля, его физический смысл и свойства.

12. Соленоидальное поле. Векторные трубки. Условие соленоидальности поля. Примеры.Потенциальное поле. Условия потенциальности поля. Примеры.

13. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности, его свойства. Арифметические действия с последовательностями, имеющими предел. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности.

14. Числовой ряд. Сумма и сходимость ряда. Остаток ряда. Арифметические операции с рядами. Абсолютная и условная сходимость. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки Даламбера, Коши; интегральный признак Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка условно сходящегося ряда. Действия с абсолютно сходящимися рядами.

15. Функциональный ряд. Поточечная и равномерная сходимость. Область сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

16. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда (без доказательства).

17. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. Теорема о разложении в ряд Тейлора. Единственность разложения в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.

18. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье, условия его сходимости и свойства суммы. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций, их свойства. Ряды Фурье по косинусам и синусам, условия их сходимости и свойства суммы.

 

 

Типовые задачи.

1. Исследовать на сходимость ряд: ; .

2. Найти область сходимости ряда: .

3. Вычислить с точностью 0,01: .

4. С помощью 4 первых членов рядя Тейлора записать приближенное решение задачи Коши , , .

5. Разложить функцию а) в ряд Фурье по косинусам на интервале ; б) в ряд Фурье на интервале и построить график суммы ряда :

6. Разложить в ряд Тейлора по степеням x: .

7.

Изменить порядок интегрирования в декартовых координатах, перейти к полярным координатам:

8. Найти площадь поверхности и объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

9. Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми:

а)

б)

10. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя):

11. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура L:

12. Исследовать соленоидальность и потенциальность векторного поля

13. Найти локальный экстремум функции и составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке экстремума

14. Составить уравнение касательной плоскости в точке и вычислить градиент и производную по направлению к поверхности уровня функции в направлении вектора .